Επί της Αντιστροφής.

#1

Λίγα λόγια.
Η αντιστροφή είναι ένας σημειακός μετασχηματισμός (υπάρχουν κι’ άλλοι, ομοιοθεσία, στροφή, παράλληλη μεταφορά και συνδυασμός αυτών), δηλαδή μια απεικόνιση. Κάθε σημείο ενός σχήματος απεικονίζεται σε μια νέα θέση. Αυτά υπάγονται στην Γεωμετρία των Ιησουϊτών.
Ο κανόνας: έχουμε ένα τυχαίο σημείο

(πόλος της αντιστροφής) και έναν μη μηδενικό αριθμό $\displaystyle{\lambda }$ (λόγος της αντιστροφής). Για κάθε σημείο

μια γραμμής

, επί της ευθείας

, βρίσκουμε σημείο $\displaystyle{A'}$ ώστε $\displaystyle{OA \cdot OA' = \lambda }$ . Τα $\displaystyle{\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}} {\text{ \& }}\overrightarrow {{\rm O}{\rm A}'} }$ είναι ομόρροπα αν $\displaystyle{\lambda > 0}$ και αντίρροπα αν $\displaystyle{\lambda < 0}$ . Το σύνολο των σημείων

είναι η αντίστροφη γραμμή της

.

Επειδή μας απασχολούν αντιστροφές ευθειών και κύκλων, τα πράγματα είναι απλά. Υπάρχουν τέσσερις (4) περιπτώσεις.

1) Αντιστροφή κύκλου $\displaystyle{\left( {K,r} \right)}$ με πόλο αντιστροφής

που δεν βρίσκεται επί του κύκλου. Προκύπτει νέος κύκλος. Ο πόλος της αντιστροφής και τα δύο κέντρα είναι συνευθειακά σημεία. (Άτονα τα αρχικά σημεία, τονούμενα τα αντεστραμμένα και κόκκινα τα αντίστροφα σχήματα).

: Epi Tis Antistrofis - 1.jpg (17.75 KiB) Προβλήθηκε 5081 φορές

2) Αντιστροφή κύκλου $\displaystyle{\left( {K,r} \right)}$ με πόλο αντιστροφής

που βρίσκεται επί του κύκλου. Προκύπτει ευθεία κάθετος στην

.

: Epi Tis Antistrofis - 2.jpg (16.53 KiB) Προβλήθηκε 5081 φορές

3) Αντιστροφή ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ με πόλο αντιστροφής

που βρίσκεται επί της ευθείας. Προκύπτει η ίδια ευθεία.

4) Αντιστροφή ευθείας $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ με πόλο αντιστροφής

που δεν βρίσκεται επί της ευθείας. Προκύπτει κύκλος, ο αντίστοιχος της περίπτωσης (2)

Αναλλοίωτα σχήματα:
1) Ο αντίστροφος κύκλου με πόλο σημείο εκτός αυτού και λόγο αντιστροφής την δύναμη του πόλου, ως προς τον κύκλο.
2) Η αντίστροφος ευθείας με πόλο σημείο επί της ευθείας

Παρατηρήσεις:
1) Διπλή αντιστροφή με ίδιο πόλο και λόγους $\displaystyle{\lambda {\text{ \& }}\frac{1}{\lambda }}$ επαναφέρει τα σχήματα στην αρχική τους θέση.
2) Οι αντίστροφες εικόνες τεμνόμενων ευθειών με πόλο

εκτός αυτών, είναι τεμνόμενοι κύκλοι διερχόμενοι από το

και τεμνόμενοι σε σημείο που είναι το αντίστροφο του αρχικού σημείου τομής.

: Epi Tis Antistrofis - 3.jpg (27.85 KiB) Προβλήθηκε 5081 φορές

3) Παράλληλες ευθείες με πόλο εκτός αυτών, αντιστρέφονται σε εφαπτόμενους κύκλους με σημείο επαφής τον πόλο
4) Κύκλος $\displaystyle{\left( {K,r} \right)}$ και εφαπτόμενη αυτού ευθεία, με πόλο αντιστροφής

επί του κύκλου (όχι το σημείο επαφής), αντιστρέφονται σε ευθεία $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ κάθετο της

και κύκλο διερχόμενο από

και εφαπτόμενο της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ . Τα δύο σημεία επαφής και ο πόλος είναι συνευθειακά.

: Epi Tis Antistrofis - 4.jpg (27.96 KiB) Προβλήθηκε 5081 φορές

Τα κόκκινα σχήματα είναι τα αντίστροφα των μαύρων.

Μεθοδολογία.
Για να λύσουμε ένα πρόβλημα, αντιστρέφουμε όλα σχήματα με κατάλληλο πόλο (συνήθως και με κατάλληλο λόγο), φτιάχνουμε ένα ευκολότερο πρόβλημα, το λύνουμε και κατόπιν με «αντίστροφη» αντιστροφή γυρνάμε στο αρχικό

Παράδειγμα
Να γραφεί περιφέρεια (c)

διερχόμενη από σημείο

και εφαπτόμενη των κύκλων $\displaystyle{\left( {{c_1}} \right){\text{ \& }}\left( {{c_2}} \right)}$ .

: Epi Tis Antistrofis - 5.jpg (25.65 KiB) Προβλήθηκε 5081 φορές

Λύση
Αντιστρέφουμε τους κύκλους $\displaystyle{\left( {{c_1}} \right){\text{ \& }}\left( {{c_2}} \right)}$ με πόλο το σημείο

και τυχαίο λόγο $\displaystyle{\lambda > 0}$ . Προκύπτουν οι κύκλοι $\displaystyle{\left( {{c_1}'} \right){\text{ \& }}\left( {{c_2}'} \right)}$ . Φέρουμε την κοινή εφαπτομένη $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ των $\displaystyle{\left( {{c_1}'} \right){\text{ \& }}\left( {{c_2}'} \right)}$ . Βρίσκουμε την αντίστροφη εικόνα της $\displaystyle{\left( \varepsilon \right)}$ με πόλο επίσης το

και λόγο $\displaystyle{\frac{1}{\lambda }}$ που θα είναι ο ζητούμενος κύκλος (c)

. Φανερά υπάρχουν τέσσερις κοινές εφαπτόμενες των $\displaystyle{\left( {{c_1}'} \right){\text{ \& }}\left( {{c_2}'} \right)}$ , άρα τέσσερις λύσεις.
____________________________________________________________________________________

Όλα τα παραπάνω αποδεικνύνονται πανεύκολα (στοιχειώδεις διαδικασίες) και είναι κάποια βασικά στοιχεία της μεθόδου, που ασφαλώς περιλαμβάνει και πολλά ακόμα. Δεν μπορώ να υποδείξω βιβλιογραφία (όστις βούλεται ..), τα παραπάνω τα θυμάμαι από .. τόοοοτε που ήμουν μικρός και ασχολιόμουν με διαγωνισμούς.

#2

Σεραφείμ πολύ όμορφα ολα αυτά! Δεν έχω ασχοληθεί καθόλου με αντιστροφή...(Ποτέ δεν είναι αργά)

#3

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Σεραφείμ πολύ όμορφα ολα αυτά! Δεν έχω ασχοληθεί καθόλου με αντιστροφή...(Ποτέ δεν είναι αργά)

Όντως .. ποτέ δεν είναι αργά Αναστάση.

Παρεπιπτόντως, πρόκειται για πανομοιότυπες διαδικασίες με τους ρητογραμμικούς μετασχηματισμούς στο Μιγαδικό επίπεδο, δηλαδή αν ο $\displaystyle{u \in C}$ διατρέχει μια γραμμή τότε ο $\displaystyle{w = \frac{{a u + b}}{{c u + d}},{\text{ }}a,b,c,d \in C}$ , διατρέχει μια γραμμή που είναι συνδυασμός μεταφοράς, στροφής, ομοιοθεσίας και αντιστροφής της γραμμής του

και βέβαια οι κύκλοι μετασχηματίζονται σε ευθείες ή κύκλους και οι ευθείες το ίδιο.

#4

Σεραφείμ έγραψε:Λίγα λόγια.

πολλές φορές,τα λίγα λόγια λένε περισσότερα από τα πολλά

Σεραφείμ ,σε ευχαριστούμε πάρα πολύ

μάλλον έφτασε ο καιρός να ασχοληθούμε κι εμείς λίγο ...σιγά-σιγά

Ιστοσελίδα · #5

Coxeter.-.Introduction.to.geometry.2ed..(1969)

και

GEOMETRY REVISITED H. S. M. Coxeter S. L. Greitzer 1967

#6

Πολύ καλό αυτό που έκανε ο Σεραφείμ. Ευκαιρία να θυμηθούν οι παλαιοί και να
το προσέξουν οι νεώτεροι.
Προσθέτω μόνο (ή μάλλον διευκρινίζω) πως:
το κέντρο του αντιστρόφου ενός κύκλου δεν συμπίπτει με το αντίστροφο του κέντρου του κύκλου.
Στο σχήμα που αναρτώ από το Cabri II το οποίο δίνει πολύ εύκολα την αντιστροφή
φαίνεται πώς ο κόκκινος κύκλος που είναι ο αντίστροφος του πράσινου με δύναμη αντιστροφής
το τετράγωνο της ακτίνας του γαλάζιου κύκλου, δεν έχει κέντρο το αντίστροφο Μ' του
κέντρου Μ του πράσινου κύκλου.
Την περίπτωση αυτή μπορεί να την προσέξει κανείς και σ' εκείνα τα σχήματα του Σεραφείμ όπου έχει
σχεδιάσει τα αντίστροφα των κέντρων.

Κώστας Δόρτσιος

ΥΓ. Σχετικά με το θέμα αυτό υπάρχει ένα μικρό άρθρο μου στα Πρακτικά της 2ης Μαθηματικής Εβδομάδας
της ΕΜΕ που έγινε στη Θεσσαλονίκη το Μάρτη του 2008, σελ. 255.
(Σημειακοί μετασχηματισμοί μέσα από το Cabri-geometryII(θεώρημα Feuerbach, Αλυσίδα του Steiner))

#7

Αντιστροφή είχαμε χρησιμοποιήσει -- κατά δική του προτροπή* -- μαζί με τον παλιό συνάδελφο και πάντα φίλο Phil Tracy για να ολοκληρώσουμε την αδημοσίευτη μελέτη μας για τα κυκλικά σύνολα (όπου "κυκλικό σύνολο" = υποσύνολο του επιπέδου για οποιαδήποτε δύο σημεία του οποίου υπάρχει κύκλος που περνά από αυτά και περιέχεται σ' αυτό). Συγκεκριμένα χρησιμοποιήσαμε αντιστροφή για να ανάγουμε την περίπτωση μη φραγμένου συνόλου σ' αυτήν του φραγμένου: προσπαθήσαμε και για 'απευθείας' απόδειξη χωρίς όμως επιτυχία.

[Τα κυκλικά σύνολα είναι λίγο πολύ αυτά που θα μάντευε κανείς ακόμη και χωρίς να ξέρει πολλά Μαθηματικά, η αυστηρή όμως απόδειξη της ταξινόμησης τους θέλει δουλειά, δείτε εδώ.]

*αντιστροφή διδάχτηκα βεβαίως από τον πατέρα μου, με τα χρόνια την ξέχασα μέχρι να μου την θυμίσει ο συνεργάτης μου Phil, τώρα ήρθε ο καιρός να την ξαναθυμηθώ

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

Γιώργο αυτό το άπαιχτο βιντεάκι με τα γατιά τι ρόλο βαράει;

#9

Κοτρώνης Αναστάσιος έγραψε:Γιώργο αυτό το άπαιχτο βιντεάκι με τα γατιά τι ρόλο βαράει;

Ρόλο εισαγωγής στην κυκλικότητα

parmenides51 · #10

Μια σχετική μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία Η Γεωμετρία της αντιστροφής: Ιστορική αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και Εφαρμογές του Μιχαήλ Κακούρη.

#11

parmenides51 έγραψε:Μια σχετική μεταπτυχιακή διπλωματική εργασία Η Γεωμετρία της αντιστροφής: Ιστορική αναδρομή, Διδακτικές προεκτάσεις και Εφαρμογές του Μιχαήλ Κακούρη.

Η διατριβή αυτή παίρνει βαθμό ΑΑΑ.

Ευχαριστούμε θερμότατα.

Μ.

parmenides51 · #12

Για τους λάτρεις της αντιστροφής εδώ βρίσκονται όσες λύσεις με αντιστροφή έχουν αναρτηθεί στο mathematica.
Θα ανανεώνονται τακτικά.

Ιστοσελίδα · #13

Επισυνάπτω ένα αρχείο geogebra που υλοποιεί την αντιστροφή του σημείου

ως προς τον δοθέντα κύκλο.

#14

Με αφορμή μια κουβέντα που είχα με τον "Παρμενίδη" για το θέμε της αντιστροφής ανεβάζω ένα μικρό μέρος από το διδακτορικό μου (που τώρα διαμορφώνω) για τον μετασχηματισμό (ή αντιστροφή) Kelvin. Είναι πολύ κοντινή έννοια με το υπό συζήτηση θέμα ...

Επί της Αντιστροφής.

Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Re: Επί της Αντιστροφής.

Μέλη σε σύνδεση