Μια γραμμική πριν τον διαγωνισμό προετοιμασίας

[Demetres]

Έστω ένα σύνολο πραγματικών πινάκων ώστε
(α) Ο ταυτοτικός πίνακας ανήκει στο .
(β) Αν τότε και ακριβώς ένας από τους πίνακες και - ανήκει στο .
(γ) Αν τότε είτε , είτε
(δ) Αν και τότε υπάρχει με

Να δειχθεί ότι το περιέχει το πολύ πίνακες.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Putnam 1992/B6

[Ilias_Zad]

Nα ρωτήσω κάτι, για το (β) ο διαχωρισμός είναι γνήσιος, δηλαδή δεν μπορεί να ισχύουν και τα 2 ταυτόχρονα;

[Demetres]

Ναι δεν μπορούν να ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα. Τροποποίησα λίγο την εκφώνηση για να γίνει πιο ξεκάθαρο.

[lemonidas]

Ναι δεν μπορούν να ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα. Τροποποίησα λίγο την εκφώνηση για να γίνει πιο ξεκάθαρο.

Σε spoiler η απορία γιατί αποκαλύπτει μέρος λύσης..

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

To μόνο που μου μένει για τη λύση είναι να δείξω είναι ότι υπάρχει Α του οποίου το τετράγωνο είναι στο σύνολο. Κάτι τέτοιο προκύπτει από το (β) ή πρέπει τα Α,Β να είναι διαφορετικά?

[Demetres]

Ναι δεν μπορούν να ισχύουν και τα δύο ταυτόχρονα. Τροποποίησα λίγο την εκφώνηση για να γίνει πιο ξεκάθαρο.

Σε spoiler η απορία γιατί αποκαλύπτει μέρος λύσης..

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

To μόνο που μου μένει για τη λύση είναι να δείξω είναι ότι υπάρχει Α του οποίου το τετράγωνο είναι στο σύνολο. Κάτι τέτοιο προκύπτει από το (β) ή πρέπει τα Α,Β να είναι διαφορετικά?

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Επιτρέπεται να πάρεις

[lemonidas]

Ωραία.. Ακολουθεί η λύση σε hide:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Έστω λοιπόν ότι υπάρχουν τουλάχιστον πίνακες. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει γραμμικός συνδυασμός τους που κάνει 0 αφού ο χώρος των nxn πινάκων έχει διάσταση . Έστω ότι γράφουμε τη σχέση αυτή με τον ελάχιστο αριθμό μη μηδενικών συντελεστών:
.

Έστω κάποιο με . Πολλαπλασιάζουμε με αυτό αριστερά και δεξιά και προσθέτουμε. Παίρνουμε:


Όμως , όπου και άρα . Άρα το αντιμετατίθεται με όλους τους πίνακες στο Μ.
Λόγω της (β) όμως ανήκει και στο Μ, (ή αυτός ή ο ). Όμως η (δ) ικανοποιείται μόνο αν

Παίρνουμε λοιπόν τον γραμμικό συνδυασμό με το ελάχιστο πλήθος μη μηδενικών συντελεστών (προφανώς >=2). Μετατρέπουμε τον πρώτο πίνακα που έχει μη μηδενικό συντελεστή σε πολλαπλασιάζοντας με τον εαυτό του, και παίρνουμε έναν επόμενο πίνακα Β. Για αυτόν τον Β βρίσκουμε τον πίνακα C για τον οποίον BC+CB=0 και εφαρμόζουμε την παραπάνω μέθοδο (πολλαπλασιασμός με C και πρόσθεση). Έτσι ο πρώτος παραμένει στη σχέση ενώ ο δεύτερος εξαφανίζεται και έχουμε (μη τετριμένο) γραμμικό συνδυασμό με λιγοτερους όρους - Άτοπο!

(Οι πίνακες ΑΒ+ΒΑ που προκύπτουν ανήκουν στο Μ (ή είναι μηδέν) λόγω του (γ))

Άρα υπάρχουν το πολύ πίνακες στο Μ.

Πάρα πολύ ωραία άσκηση πάντως..

Edit: Μικρή διόρθωση γιατί έχανε μια περίπτωση..