Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Ιστοσελίδα · #1

Η εξίσωση $ax^2+(a+3)x+a-3=0 \; , \; a\neq 0 ,$ έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες.
Να βρείτε τις ρίζες της καθώς και τον πραγματικό αριθμό

KARKAR · #2

Αν

, οι ρίζες τότε : $\displaystyle mn=\frac{a-3}{a} , m+n=-\frac{a+3}{a}$ και αθροίζοντας θα έχω : $\displaystyle mn+m+n=\frac{a-3}{a} - \frac{a+3}{a}=-\frac{6}{a}$ (1).

Συνεπώς το

είναι ένας από τους αρνητικούς διαιρέτες του

δηλαδή ένα από τα : -1 , -2 , -3

.

Όμως κανένας απ' αυτούς δεν ταιριάζει ....(Αλλά ο

δεν είναι απαραίτητα ακέραιος)

Ας μου επιτραπεί να συνεχίσω εδώ τη λύση μιας και είναι διαφορετική από την λύση των επόμενων λυτών.

Με αφαίρεση των (1) παίρνω : $mn-m-n=2\Leftrightarrow mn-m-n+1=3\Leftrightarrow (m-1)(n-1)=3$ , και επειδή m , n

θετικοί ακέραιοι

(και δεν έχει σημασία η σειρά) πρέπει : m=2, n=4

, δηλαδή ρίζες της εξίσωσης : x^2-6x+8=0

(2)

Τελικά πρέπει η (2) να είναι ισοδύναμη με την αρχική , δηλαδή : $\displaystyle \frac{a}{1}=\frac{a+3}{-6}=\frac{a-3}{8}\Rightarrow a=-\frac{3}{7}$ ,που ταιριάζει ...

*Εκ των υστέρων μελετώντας τη λύση του "hsiodos" διαπιστώνω ότι έχει προηγηθεί ..

Νικος Αντωνόπουλος · #3

Αν η εκφώνηση έχει κάποιο πρόβλημα σίγουρα δεν είναι αυτό, καθότι δεν μας λέει ότι ο αριθμός α είναι ακέραιος.

#4

stranton έγραψε:Η εξίσωση $ax^2+(a+3)x+a-3=0 \; , \; a\neq 0 ,$ έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες.
Να βρείτε τις ρίζες της καθώς και τον πραγματικό αριθμό

Θα δούμε ότι $a=\frac{-3}{7}$ και οι ρίζες είναι 2, 4

.

Πράγματι το άθροισμα $-\frac{a+3}{a} = -1 + -\frac{3}{a}$ των θετικών ακέραιων ριζών είναι φυσικός, άρα $\frac{3}{a}=N$ για κάποιον ακέραιο

. Βάζοντας το $a=\frac{3}{N}$ στην εξίσωση γίνεται, μετά τις απλοποιήσεις

x^2 + (N+1)x+ 1-N=0

(*).

Δεν μπορεί και οι δύο ρίζες να είναι $\ge 3$ γιατί τότε, αν είναι $r_1\ge r_2\ge 3$ θα έχουμε $2r_1 +2 \ge r_1+r_2 +2 = -(N+1)+2 = 1-N = r_1r_2 \ge 3r_1$ οπότε $2\ge r_1$ άτοπο.

Συνεπώς η μικρή θετική ρίζα είναι 0, 1, 2

ή

. Με έλεγχο στην (*) βλέπουμε ότι μόνο η

δίνει ακέραιο

με αντίστοιχο

το

. Αυτό μας δίνει το

που αναφέραμε στην αρχή, και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης

hsiodos · #5

stranton έγραψε:Η εξίσωση $ax^2+(a+3)x+a-3=0 \; , \; a\neq 0 ,$ έχει δύο θετικές ακέραιες ρίζες.
Να βρείτε τις ρίζες της καθώς και τον πραγματικό αριθμό

Έστω $\displaystyle{x_1 ,x_2 \,}$ οι ρίζες της εξίσωσης με $\displaystyle{x_1 \le x_2 }$ . Ο αριθμός 1 δεν είναι ρίζα (τότε προκύπτει α= 0) , έτσι $\displaystyle{2 \le x_1 \le x_2 }$ (*)

Έχουμε $\displaystyle{x_1 + x_2 = \frac{{ - a - 3}}{a} \Rightarrow x_1 + x_2 = - 1 - \frac{3}{a}}$ και

$\displaystyle{ x_1 x_2 = \frac{{a - 3}}{a} \Rightarrow x_1 x_2 = 1 - \frac{3}{a}}$ , τότε

$\displaystyle{x_1 x_2 - (x_1 + x_2 ) = 2 \Rightarrow x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = 3 \Rightarrow (x_2 - 1)(x_1 - 1) = 3\,\,(1)}$

Οι αριθμοί $\displaystyle{x_2 - 1,x_1 - 1}$ είναι θετικοί ακέραιοι και λόγω της (1) (και της (*))

παίρνουμε $\displaystyle{ x_1 - 1 = 1\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x_2 - 1 = 3 \Rightarrow x_1 = 2\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\,x_2 = 4}$

Εύκολα προκύπτει τώρα και το α .

Γιώργος

Linardatos · #6

Ναί ξέρω οτι η μορφή είναι πολύ λακωνική λείπουν πολλές πράξεις και δικαιολογήσεις αλλα ήταν οτι καλύτερο μπορούσα για πρώτη φορά , θα ήθελα να συζητηθεί η εγκυρότητα της προσέγγισης αυτής . ευχαριστώ

Λοιπόν από το ότι πρεπει η Διακρίνουσα να είναι θετική προκύπτει η σχεση 1 μετά απο παραγοντοποίηση προκύπτει η σχεση 2 απο όπου αφου χ θετικός προκύπτει οτι a αρνητικός αρα προκύπτει σχεση 3 κατασκευάζοντας εναν εναν όρο προσθέτοντας κατα μέλη και παρατηρώντας ότι αυτό είναι ενα τέλειο τετράγωνο εχω οτι σχέση 4 κάνοντας γραφική παράσταση και βρίσκοντας κορυφη και τα λοιπά παρατηρώ οτι η μόνη δεκτή ακέραια λύση ειναι το 2 και απο εκει και πέρα βρίσκουμε το α

$\Delta =-3(a^2-6a-3) > 0 \Rightarrow 3-2\sqrt{3}<a<3+2\sqrt{3}$ (1),
a(x^2+x+1)=-3(x-1) (2)

$x>1 \Rightarrow a<0 \Rightarrow 3-2\sqrt{3}<a<0 (3)$
$\Rightarrow (i) -2\sqrt{3} <a-3<-3$
$(ii)(6-2\sqrt{3})<(a+3)x<3x$
$(iii)(3-2\sqrt{3})x^2<ax^2<0$
$(3-2\sqrt{3})(x-1-\sqrt{3})^2<P(x)<3(x-1)$

Linardatos · #7

η ιδεα μου ειναι οτι αφου πρεπει η γραφικη "οπωςδηποτε" στις δυο τοτε δε μπορει να κόψει καπου αλλου τον αξονα γιατι τότε δε θα εχει ακέραια ρίζα. και δεν μας απασχολόυν τα σημεία τομής αφού μιλάμε για ακέραιους.

<Γ/Λ>

Linardatos · #8

στη σχέση ii) έχω ξεχάσει ένα x στο αριστερό μέλος.

Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Re: Εξίσωση με ακέραιες ρίζες

Μέλη σε σύνδεση