Άσκηση στην συνέχεια

MANOLISMATHS · #1

Σήμερα εξετάστηκε το μάθημα της Ανάλυσης στην σχολή μου

Δόθηκε η εξής άσκηση
Αν έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχής
και δίνεται ότι υπάρχει μια ακολουθία $x_n\in [a,b] : \lim f(x_n)=0$ (έκανα ένα μικρό edit)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_o\in[a,b]:f(x_o)=0$
Εγώ πήγα με άτοπο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αν μπορούν μαθηματικοί ας δούν αν έχω δίκιο

#2

Αγαπητέ φίλε. Αυτό:

MANOLISMATHS έγραψε:...Όμως έχουμε μια ακολουθία που συγκλίνει άρα
$]\forall \epsilon>0 \exists n_o:\forall n \geq n_o : -\epsilon<f(x_n)<\epsilon$ ...

είναι λάθος
Σωστό θα ήταν αν έγραφες
Όμως έχουμε μια ακολουθία που συγκλίνει άρα υπάρχει c ώστε
$\forall \epsilon>0 \exists n_o:\forall n \geq n_o : -\epsilon<f(x_n)-c<\epsilon$
Φιλικά

MANOLISMATHS · #3

Κυριε Σπύρο
Η ακολουθία συγκλινει στο 0 άρα το c=0(ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ)

#4

MANOLISMATHS έγραψε:Κυριε Σπύρο
Η ακολουθία συγκλινει στο 0 άρα το c=0(ΜΗΔΕΝΙΚΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ)

Και πάλι έχει πρόβλημα, γιατί ο αριθμός που επιλέγεις να βάλεις στη θέση του ε, εξαρτάται από το n_0

, οπότε προκύπτει πρόβλημα φαύλου κύκλου

MANOLISMATHS · #5

Αν θέλετε να μου απαντήσετε λίγο σαφέστερα,,,εγώ επιλέγω το f(x_n)..που είναι το πρόβλημα

MANOLISMATHS · #6

Αν θέλετε να μου απαντήσετε λίγο σαφέστερα,,,εγώ επιλέγω το f(x_n)..που είναι το πρόβλημα στο να επιλέγω ε ,το ε>0 άρα μπορω να βάλλω οτιδήποτε θετικό
κάθε f(x_n) είναι θετικό
Μπορεί να μην το
σταθεροποιώ
Όμως δεν παύει να είναι θετικό για να το υπολογίσω
Πως για ε μπορω να θέτω μια ολοκληρη ακολουθία π.χ την 1/ν (βλεπε αποδειξη αρχης της μεταφοράς)
για κάθε $n\geqn_o$ επιλέγω και το αντίστοιχο f(x_n)...

#7

MANOLISMATHS έγραψε:Πως για ε μπορω να θέτω μια ολοκληρη ακολουθία π.χ την 1/ν (βλεπε αποδειξη αρχης της μεταφοράς)

Μανώλη καλησπέρα. Αν θες, προκειμένου να βοηθηθείς, προσπάθησε να γίνεις πιο συγκεκριμένος με τις ερωτήσεις σου. Παρέθεσε αν θέλεις την απόδειξη που λες, και κάνε συγκεκριμένο το σημείο στο οποίο θεωρείς ότι υπάρχει κώλυμα.

Για την άσκησή σου τώρα, χρησιμοποίησε το θεώρημα Bolzano Weierstrass για το κλειστό διάστημα [a,b]

και τη συνέχεια της

.

MoV · #8

MANOLISMATHS έγραψε:Αν θέλετε να μου απαντήσετε λίγο σαφέστερα,,,εγώ επιλέγω το f(x_n)..που είναι το πρόβλημα στο να επιλέγω ε ,το ε>0 άρα μπορω να βάλλω οτιδήποτε θετικό
κάθε f(x_n) είναι θετικό
Μπορεί να μην το
σταθεροποιώ
Όμως δεν παύει να είναι θετικό για να το υπολογίσω
Πως για ε μπορω να θέτω μια ολοκληρη ακολουθία π.χ την 1/ν (βλεπε αποδειξη αρχης της μεταφοράς)
για κάθε $n\geqn_o$ επιλέγω και το αντίστοιχο f(x_n)...

Δες το ως εξής :
Εσύ αρχικά επιλέγεις όποιο $\epsilon$ θες , κατόπιν εγώ είμαι υποχρεομένος να σου βρω ένα n_0

.
Εσύ διαλέγεις $\epsilon = \frac{f(x_n)}{2}$ όπου $n \geq n_0$ , επ δεν μπορείς να το κάνεις αυτό αφού δεν σου έχω πει ακόμα το $\\n_0$ .

#9

MANOLISMATHS έγραψε:Σήμερα εξετάστηκε το μάθημα της Ανάλυσης στην σχολή μου

Δόθηκε η εξής άσκηση
Αν έχουμε μια συνάρτηση $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ συνεχής
και δίνεται ότι υπάρχει μια ακολουθία $x_n\in [a,b] : \lim f(x_n)=0$ (έκανα ένα μικρό edit)
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $x_o\in[a,b]:f(x_o)=0$

<...>

Άν επιλέξω $\epsilon = \frac{f(x_n)}{2}$ προκύπτει

Απάντησαν επαρκώς οι προλλαλήσαντες αλλά ας τονίσω, γιατί δεν φαίνεται να έγινε κατανοητό, ότι εδώ έχουμε σοβαρό λάθος. Το ε που επιλέγεις είναι μεταβλητό, οπότε δεν κάναμε τίποτα. Ούτε καν επιλογή.

Επειδή προφανώς πρόκειται για άσκηση στο σπίτι, θα δώσω μόνο υπόδειξη:

Αφού η x_n

είναι φραγμένη (ανήκει στο [a, b]

) έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Έστω x_0

το όριό της ...

Μ.

MANOLISMATHS · #10

Το ξέρω κύριε Μιχάλη
Εφαρμόζω Bolzano Weirstrass
Το θέμα είναι ότι σκέφτηκα να γραψω στις εξετάσεις και τα δυο αλλα πρόλαβα μόνο το άτοπο

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Αλλα θέλω να εκφράσω ενα παράπονο..Τόσο καιρό κάνουμε ε-δ ορισμό,,κανένας στην σχολή δεν μας ανέφερε ότι πρέπει να σταθεροποιούμε το ε όταν θέτουμε σε αυτό..Ισα -Ισα που το φοβόμασταν κίολας

#11

MANOLISMATHS έγραψε: $\forall \epsilon>0 \exists n_0:\forall n \geq n_0 : -\epsilon<f(x_n)<\epsilon$

Μανόλη, το πρόβλημα είναι ότι δεν φαίνεται να κατανόησες σωστά αυτήν την πρόταση. Ας κάνω μια προσπάθεια να εξηγήσω και εγώ το λάθος.

Ας πούμε ότι επέλεξες $\varepsilon = f(x_{100})/2$ . Τι μας λέει τότε αυτή η πρόταση; Μας λέει ότι υπάρχει ένα n_0

το οποίο εξαρτάται από το $\varepsilon$ που επιλέξαμε και για το οποίο ισχύει $\displaystyle{ -\epsilon <f(x_n)<\epsilon}$ για κάθε $n \geqslant n_0$ . Αν λοιπόν για το $\varepsilon = f(x_{100})$ είχαμε n_0 = 200

τότε το μόνο που μπορούμε να συμπεράνουμε είναι ότι $\displaystyle{ -f(x_{100})/2 <f(x_n)< f(x_{100})/2}$ για κάθε $n \geqslant 200$ . Αυτό το συμπέρασμα είναι σωστό αλλά δεν βοηθάει σε τίποτα. Και γενικά επειδή γνωρίζουμε μόνο την ύπαρξη του n_0

και τίποτα περισσότερο, δεν μπορούμε να πούμε τίποτα σημαντικό αν επιλέξουμε $\varepsilon = f(x_{n})/2$ .

Οι προτάσεις όπου εμφανίζονται δυο και τρεις ποσοδείκτες είναι συχνό φαινόμενο στα μαθηματικά και πρέπει να εξασκηθείς για να μπορείς να τις διαβάζεις και να καταλαβαίνεις ακριβώς τι λένε. Είναι σημαντικό επίσης να μπορείς να δημιουργείς την άρνησή τους.

Ας βάλουμε μια άσκηση λοιπόν. Μπορείς να μου γράψεις την άρνηση της πιο πάνω πρότασης; Θέλω να το κάνεις με δυο τρόπους. Πρώτα να μου γράψεις την άρνηση χρησιμοποιώντας μόνο ποσοδείκτες, και ύστερα να μου πεις με λόγια τι ακριβώς λέει αυτή η άρνηση.

MANOLISMATHS · #12

Κυριε Δημήτρη μετα το χθεσινό σόκ ,τώρα που λίφο ηρέμησα,μπορω να πω ότι κατάλαβα ποιο είναι το λάθος.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

Το θέμα είναι ότι θέλω πολύ να απαντήσω στις ερωτήσεις...αλλα δεν ξέρω τι είναι οι ποσοδείκτες
Δεν τους εχω διδαχθει ως εννοια συγχωρέστε με

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

αν θέλετε να μου εξηγήσετε

Νασιούλας Αντώνης · #13

Όσο αναφορά τους ποσοδείκτες μπορείς να δεις κάποια πράγματα εδώ, είναι μια εργασία του κ. Κυριακόπουλου.

Ελπίζω να βοηθήσει...

#14

MANOLISMATHS έγραψε: Το θέμα είναι ότι θέλω πολύ να απαντήσω στις ερωτήσεις...αλλα δεν ξέρω τι είναι οι ποσοδείκτες
Δεν τους εχω διδαχθει ως εννοια συγχωρέστε με

Είναι τα σύμβολα $\forall$ (για κάθε) και $\exists$ (υπάρχει). Θέλω δηλαδή να μου γράψεις την άρνηση της πρότασης χρησιμοποιώντας μόνο τα σύμβολα $\forall,\exists$ και φυσικά τα $\varepsilon,n_0,n$ κ.τ.λ. Για παράδειγμα η άρνηση της πρότασης

$\displaystyle{\forall x \in \mathbb{R} \; \exists y \in \mathbb{R} \; x > y }$

είναι η πρόταση

$\displaystyle{ \exists x \in \mathbb{R} \; \forall y \in \mathbb{R} \; x \leqslant y}$

MANOLISMATHS · #15

Αν πάρω την πρόταση

$\forall\ \epsilon >0\exists n_o:\forall n\geq n_o|f(x_n)|<\epsilon$
H άρνηση είναι
$\exists \epsilon_o : >0\forall n\in\mathbb{N} |f(x_n)|\geq \epsilon_o$

Ελπίζω να κατάλαβα καλά
Λοιπόν η πάνω πρόταση μας λέει ότι για κάθε θετικό εψιλον μπορώ να βρώ ένα ν τέτοιο ώστε για κάθε φυσικό αριθμό μεγαλύτερο του να ισχύει η δεδομένη ανισότητα,δηλαδή η ακολουθία να είναι απολύτως μικρότερη του τυχαίου έψιλον
Τώρα δεν ειμαι πολυ σιγουρος αλλά θα προσπαθήσω
η άρνηση είναι ότι δεν μπορώ να βρώ για κάθε εψιλον ένα ν που να μου ικανοποιεί αυτή την σχέση...
Δηλαδή οποιοδήποτε ν και αν παίρνω απο το συνολο των φυσικών αριθμών θα υπάρχει κάποιο ε που θα μας χαλάει την ανισότητα άρα θα μας δίνει την ανάποδη σχέση $|f(x_n)|\geq \epsilon_o$
χρειάζεται και στην άρνηση το $n\geq n_o$ ??

Να το φτιάξω λίγο καλύτερα..
Κάθε φορά που θα επιλέγω ένα έψιλον ,,,, δεν θα μπορω να βρω ενα ν που να δουλευει,,δηλαδή όλα τα ν δεν δουλευουν.Άρα για καθε ν πάντα θα υπάρχει ενα εψιλον που δεν θα δουλευει και θα δημιουργεί την αναποδη ανισότητα

#16

Όχι δεν είναι σωστή η άρνηση όπως την έκανες. Ξανασκέψου το. Δεν είναι ανάγκη να βιαστείς να απαντήσεις.

MANOLISMATHS · #17

Κάθε φορά που θα επιλέγω ένα έψιλον ,,,, δεν θα μπορω να βρω ενα ν που να δουλευει,,δηλαδή όλα τα ν δεν δουλευουν.Άρα για καθε ν πάντα θα υπάρχει ενα εψιλον που δεν θα δουλευει και θα δημιουργεί την αναποδη ανισότητα

#18

Μανόλη, δίνεις την άρνηση της πρότασης

$\displaystyle{ \forall \varepsilon > 0 \; \exists n \in \mathbb{N} \; |f(x_n)| < \varepsilon}$

Αυτή η πρόταση είναι διαφορετική από την

$\displaystyle{ \forall \varepsilon > 0 \; \exists n_0 \in \mathbb{N} \; \forall n \geqslant n_0 \; |f(x_n)| < \varepsilon}$

η οποία μας ενδιαφέρει.

MANOLISMATHS · #19

Νεα προσπάθεια
$\forall n,m\in\mathbb{N}:n\geq m \exists \epsilon_o\in\mathbb{R}^{+}: |f(x_n)|\geq\epsilon_o$

#20

MANOLISMATHS έγραψε:Νεα προσπάθεια
$\forall n,m\in\mathbb{N}:n\geq m \exists \epsilon_o\in\mathbb{R}^{+}: |f(x_n)|\geq\epsilon_o$

Πολύ λάθος.

Υπόδειξη: άνοιξε τις σημειώσεις σου και δες οποιαδήποτε απόδειξη στο κεφάλαιο των συγκλινουσών ακολουθιών που περιέχει με την φράση "έστω ότι η ακολουθία δεν συγκλίνει. Τότε ... "

Μανώλη, μία παράκληση: μας έχεις συνηθίσει να σκέπτεσαι φωναχτά στο φόρουμ. Μήπως θα ήταν πιο φρόνημο να μελετούσες περισσότερο τις παραμβάσεις σου στο φόρουμ, πριν τις δημοσιεύσεις; Μήπως το να ανατρέχεις πρώτα στην βιβλιογραφία θα ήταν πιο εποικοδομητικό;

Π.χ. η απάντηση στο παραπάνω ερώτημα υπάρχει σε όλα τα βιβλία που ασχολούνται με τον εψιλοντικό ορισμό του ορίου.

Εννοείται, είμαστε πρόθημοι πάντα να σε βοηθήσουμε στις δυσκολίες. Αλλά σε παρακαλώ να δείξεις πρώτα ότι δεν έρχεσαι εδώ για έτοιμη τροφή. Το φόρουμ ΘΕΛΕΙ να σε βοηθήσει, και η μεγαλύτερη βοήθεια που μπορεί να σου δώσει είναι να μάθεις να σκέπτεσαι ανεξάρτητα. Βοήθα και συ τον εαυτό σου.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Άσκηση στην συνέχεια

Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Re: Άσκηση στην συνέχεια

Μέλη σε σύνδεση