Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

dregklis · #1

Αξιότιμοι κυριοι

Θα ήθελα την αποψή σας για μια ερώτηση σωστου λαθους στο ΘΜΤ
Τί θα απαντούσατε (χωρίς αιτιολόγηση) στην ερώτηση
Αν η f είναι συνεχής στο [α,β] , παραγωγίσιμη στο (α,γ) $\bigcup$ (γ,β) και $\lim_{x\to \gamma }\frac{f(x)-f(\gamma ) }{x-\gamma }=+\infty$
τότε υπάρχει ξ $\in$ (α,β) τέτοιο ώστε f΄(ξ)= $\frac{f(\beta )-f(\alpha )}{\beta -\alpha }$

Σωστό ή Λάθος ?

Αιτιολόγηση (για σωστό) ή αντιπαράδειγμα (για λάθος ) έχουμε ?

Με εκτίμηση
Δημήτρης Ρέγκλης
(ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ)

mtsarduckas · #2

Λάθος απάντηση, ευχαριστώ τον κύριο Σερίφη για την επισήμανση!

Μιχάλης

#3

Μιχάλη, η συνάρτησή σου δεν ικανοποιεί την $\lim_{x \to 0} f(x)/x = + \infty$ . (Το όριο από αριστερά τείνει στο $-\infty$ .

Η πρόταση είναι σωστή. Ας θεωρήσουμε την συνάρτηση $g:[a,b] \to \mathbb{R}$ με $\displaystyle{g(x) = f(x) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}x. }$

Τότε η

είναι συνεχής στο [a,b]

, παραγωγίσιμη στο $(a,c) \cup (c,b)$ με g(a) = g(b)

και $\lim_{x \to c} \frac{g(x) - g(c)}{x-c} = +\infty$

Αρκεί να δείξω ότι υπάρχει $\xi \in (a,b)$ ώστε $g{'}(\xi) = 0$ . Αν αυτό δεν ισχύει τότε η συνάρτηση πρέπει να είναι γνησίως μονότονη τόσο στο (a,c)

όσο και στο (c,b)

. Λόγω της συνέχειας της

στο

συμπεραίνουμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη και στα (a,c]

και

. Ισχυρίζομαι ότι είναι γνησίως αύξουσα και στα δύο αυτά διαστήματα. Πράγματι αν ήταν γνησίως φθίνουσα στο (a,c]

τότε για κάθε $x \in (a,c)$ θα είχαμε $\frac{f(x) - f(c)}{x-c} < 0$ και άρα $\lim_{x \to c} \frac{f(x) - f(c)}{x-c} \neq + \infty$ . Ομοίως αποδεικνύουμε ότι είναι γνησίως αύξουσα στο [c,b)

. Αλλά τότε συμπεραίνουμε ότι g(a) < g(c) < g(b)

, άτοπο.

Έγινε μια μικρή διόρθωση μετά από μήνυμα του Κώστα Σερίφη.

k-ser · #4

Διαφορετικά(;) από την απάντηση του Δημήτρη, η παρακάτω σκέψη...

Η συνεχής συνάρτηση $\displaystyle g(x)=\frac{f(x)-f(\gamma)}{x-\gamma}, \ \ x\in [\alpha, \gamma)\cup(\gamma,\beta]$

στο πρώτο διάστημα θα παίρνει κάθε τιμή μεγαλύτερη του $\displaystyle \frac{f(\alpha)-f(\gamma)}{\alpha-\gamma}$

και στο δεύτερο διάστημα θα παίρνει κάθε τιμή μεγαλύτερη του $\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\gamma)}{\beta-\gamma}$ .

Μπορούμε να δείξουμε, και με άτοπο, ότι ο αριθμός $\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}$ είναι μεγαλύτερος ή ίσος

από τον $\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\gamma)}{\beta-\gamma}$ ή τον $\displaystyle \frac{f(\alpha)-f(\gamma)}{\alpha-\gamma}$

Άρα θα υπάρχει $\displaystyle \delta$ στο πρώτο ή στο δεύτερο διάστημα ώστε: $\displaystyle \frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}=g(\delta)=\frac{f(\delta)-f(\gamma)}{\delta-\gamma}$ .

Το ζητούμενο είναι άμεση συνέπεια του Θ.Μ.Τ. στο διάστημα $\displaystyle [\delta, \gamma]$ ή στο $\displaystyle [\gamma, \delta]$ .

dregklis · #5

Κύριοι
Ευχαριστώ για την άμεση ανταπόκριση.
Πιστεύετε ότι αυτή η ερώτηση σε πανελλαδικές εξετάσεις ως ερώτηση σωστού λάθους θα ήταν υπερβολική ?
Η άποψή μου είναι πώς όχι.
Εκανα αυτές τις ερωτήσεις γιατί είχα αντίθετη άποψη με συναδέλφους.
και ήθελα να ισχυροποιήσω την άποψή μου η οποία συμφωνεί με την δική σας
Και πάλι ευχαριστώ.

Δημήτρης Ρέγκλης

#6

Δημήτρη, δεν ασχολούμαι με τις εξετάσεις και γι' αυτό η απάντηση μου ίσως να μην είναι κατάλληλη. Θεωρώ πάντως πως οι ερωτήσεις σωστού-λάθους πρέπει να έχουν σύντομες δικαιολογήσεις. (Είτε άμεσες από την θεωρία, είτε απλά αντιπαραδείγματα.) Αν όχι τότε καλύτερα θα ήταν να μπαίνουν σαν ασκήσεις.

k-ser · #7

Αγαπητέ Δημήτρη.
Σαν ερώτηση Σωστό Λάθος σε εξετάσεις μαθητών είναι, όχι υπερβολική αλλά, χωρίς αξία.
Οι μισοί μαθητές θα την απαντήσουν ενώ οι άλλοι μισοί όχι!

Σαν ερώτημα - άσκηση κατάλληλα διαμορφωμένο στο 4ο θέμα θα ήταν ίσως χρήσιμο.
Τα "αστέρια" μας θα ξεχώριζαν πλησιάζοντας! την απάντηση.

Τώρα, ποιος θα αναλάβει την ευθύνη να δώσει ένα τέτοιο θέμα... δεν είμαι σίγουρος!

dregklis · #8

Εγώ βλέπω το θέμα απο την γεωμετρική του ερμηνεία
Τα δεδομένα με οδηγούν στο συμπέρασμα ότι έχω μια συνάρτηση η οποία έχει σ.κ. στο γ και μάλιστα αφού το όριο του λόγου μεταβολής στο γ είναι + $\infty$ θα έχω συνάρτηση κυρτή πρίν το γ και κοίλη μετά το γ . Γεωμετρικά και "διαισθητικά" οδηγούμαι συμπέρασμα ότι η πρόταση είναι σωστή
Αν θέλει λοιπόν κάποιος να εστιάσει στην γεωμετρική ερμηνεία του ΘΜΤ το θέμα (κατά την αποψή μου) είναι κατάλληλο αλλά για πολύ καλούς μαθητές.
Εκτός βέβαια απο αυτούς που θα απαντήσουν στην τύχη
Αν όμως είχε αρνητική βαθμολόγηση ?

Πάντως η συζήτηση μαζί σας με έκανε πλουσιότερο σε γνώση

Ευχαριστώ

Δημήτρης

Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Re: Ερώτηση Σωστού Λάθους στο ΘΜΤ

Μέλη σε σύνδεση