Σταθερή συνάρτηση

#1

Μία άσκηση από το βιβλίο του Γ. Μαυρίδη (χωρίς καμία υπόνοια διαφήμισης)

Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f(1) = -2 και η σταθερή συνάρτηση h(x) = xf(x) + g(x) , όπου g' (x)= - f(x) για κάθε πραγματικό x.
ι) Να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή και να βρείτε τον τύπο της.
ιι) Να βρείτε τον τύπο της g , αν γνωρίζετε ότι η γ.π. της g διέρχεται από την αρχή των αξόνων.

(Η άσκηση είναι του Θεόδωρου Ανδριόπουλου)

Χρήστος

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Μιάου....

α) Η συνάρτηση

είναι παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ ως άθροισμα των παραγωγίσιμων συναρτήσεων g(x)

(υπόθεση) και xf(x)

(ως γινόμενο παραγωγίσιμων συναρτήσεων),
με παράγωγο $h{'}(x)=f(x)+xf{'}(x)+g{'}(x) \Leftrightarrow 0 = xf{'}(x) (I)$ .

Συνεπώς $\displaystyle{f{'}(x)=\begin{cases} 0 & \text{ if } x \neq 0 \\ k & \text{ if } x=0 \end{cases}}$ , άρα $\displaystyle{f(x)=\begin{cases} c_1 & \text{ if } x<0 \\ f(0) & \text{ if } x=0 \\ c_2 & \text{ if } x>0 \end{cases} }$ .

H f είναι παραγωγίσιμη, άρα και συνεχής στο $\mathbb{R}$ , ισχύει f(1)=-2

και χρησιμοποιώντας τη συνέχεια στο 0 έχουμε ότι:
c_1=c_2=f(0)=f(1)=-2

, άρα $f(x)=-2,\ x \in \mathbb{R}$ .

β) $g{'}(x)=-f(x) \Leftrightarrow g{'}(x)=2 (II)$
Από την (ΙΙ) βρίσκουμε ότι: g(x)=2x+c

και αφού η C_g

διέρχεται από το (0,0) ισχύει:
$g(0)=0 \Leftrightarrow c=0$ , οπότε g(x)=2x

.

Εύκολα βλέπουμε ότι η g(x)=2x

επαληθεύει την (ΙΙ), οπότε είναι και η ζητούμενη συνάρτηση.

Υπάρχουν και πραγματικοί γάτοι, όχι γιαλαντζί. Ευχαριστώ για την επισήμανση original γάτε.

#3

Σιαμέζος

Μάκης Χατζόπουλος · #4

Αυτή η άσκηση μου έχει κάτσει ότι αποδεικνύεται χωρίς να παραγωγίσουμε, άρα να μην χρειάζεται η παραγωγισιμότητα της f, για να δούμε αν έχω ένστικτο ή τσάμπα προσπαθώ!

Έστω h (x) = c όπου c πραγματική σταθερά, και επειδή η σχέση ισχύει για κάθε πραγματικό χ, εμείς παίρνουμε $\displaystyle{x \ne 0}$
και έχουμε διαδοχικά:

$\displaystyle{h\left( x \right) = xf\left( x \right) + g\left( x \right) \Leftrightarrow c = - xg'\left( x \right) + g\left( x \right) \Leftrightarrow xg'\left( x \right) - g\left( x \right) = - c \Leftrightarrow \left\{ {\left. {\frac{{x \cdot g'\left( x \right) - x' \cdot g\left( x \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{ - c}}{{{x^2}}},\,\,x \ne 0} \right\}} \right. \Leftrightarrow {\left( {\frac{{g\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{c}{x}} \right)^\prime },\,\,\,x \ne 0}$

άρα $\displaystyle{\frac{{g\left( x \right)}}{x} = \frac{c}{x} - {c_1},\,\,\,{c_1} \in R}$ οπότε $\displaystyle{g\left( x \right) = c - {c_1} \cdot x,\,\,\,c,{c_1} \in R\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,x \ne 0}$

$\displaystyle{h\left( x \right) = xf\left( x \right) + g\left( x \right) \Leftrightarrow c = xf\left( x \right) + c - {c_1}x \Leftrightarrow xf\left( x \right) = {c_1}x}$

για κάθε $\displaystyle{\,x \ne 0\,}$ έχουμε $\displaystyle{f\left( x \right) = {c_1}}$ (έχουμε φυσικά ότι η f είναι συνεχής στο R).

Τι απέδειξα γιατί μπερδεύτηκα; Υπάρχει λάθος; Γιατί δεν πείθομαι. Πάντως μου θυμίζει το βιβλιαράκι που είχε βγάλει ο Μπάμπης με το $\displaystyle{f \cdot g = 0}$

Νομίζω ότι έβαλα μια υποψήφια άσκηση στο φάκελο "βρείτε το λάθος"!!

#5

To πρώτο λάθος βρίσκεται στο σημείο όπου λές:

$\displaystyle{ (\frac{{g(x)}}{x})' = \left( {\frac{c}{x}} \right)',x \ne 0 \Rightarrow \frac{{g(x)}}{x} = \frac{c}{x} - c_1 ,x \ne 0 }$

Το θεώρημα ισχύει σε διάστημα και όχι σε ένωση διαστημάτων όπως έιναι το $\displaystyle{ R^ * }$

Οπότε ακυρώνονται τα παρακάτω γραφόμενα.

Στη συνέχεια, λόγω της συνέχειας που ήδη θα έπρεπε να είχε χρησιμοποιηθεί, απλά θα πρέπει να οριστεί κατάλληλα στο 0 ώστε

να υφίσταται κιόλας.

#6

Όπως προείπα original gatos!!!!

Μάκης Χατζόπουλος · #7

Έκανα μια αναζήτηση και έπεσα πάνω στην δημοσίευσή μου ένα χρόνο μετά!! Η εμμονή μου να την αποδείξω χωρίς παραγώγιση (αλλά με συνέχεια) τελικά μπορεί και να με δικαίωσε (αναμένω σχόλια και επικύρωση από τους ανώτερους στο είδος, Βασίλη, Θάνο κτλ)... Τελικά ο άνθρωπος πρέπει να ακολουθεί το ένστικτό του, απόδειξη; Δείτε τα παρακάτω!
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Έχουμε από την δεδομένη σχέση $h\left( x \right) = xf\left( x \right) + g\left( x \right)$ , διαδοχικά,

$\begin{array}{l} c = xf\left( x \right) + g\left( x \right) \Rightarrow c = - x \cdot g'\left( x \right) + g\left( x \right) \\ \Rightarrow \frac{c}{{{x^2}}} = - \frac{{x \cdot g'\left( x \right) - g\left( x \right)}}{{{x^2}}},\,\,\,x \ne 0 \\ \Rightarrow {\left( {\frac{c}{x}} \right)^\prime } = {\left( {\frac{{g\left( x \right)}}{x}} \right)^\prime },\,\,\,x \ne 0 \\ \end{array}$

$g\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {c - {c_1}x} & {} & {,x > 0} \\ c & {} & {,x = 0} \\ {c - {c_2}x} & {} & {,x < 0} \\ \end{array}} \right.$

όπου $h\left( x \right) = xf\left( x \right) + g\left( x \right) \Rightarrow c = xf\left( x \right) + g\left( x \right)\mathop \Rightarrow \limits^{x = 0} g\left( 0 \right) = c$

Έχουμε για
$x > 0:\,\,\,\,g\left( x \right) = c - {c_1}x \Rightarrow g\left( x \right) = xf\left( x \right) + g\left( x \right) - {c_1}x \Rightarrow - xf\left( x \right) = - {c_1}x \Rightarrow f\left( x \right) = {c_1}$

ενώ για
$x < 0:\,\,\,\,g\left( x \right) = c - {c_2}x \Rightarrow g\left( x \right) = xf\left( x \right) + g\left( x \right) - {c_2}x \Rightarrow - xf\left( x \right) = - {c_2}x \Rightarrow f\left( x \right) = {c_2}$

Άρα, $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}} & {} & {x > 0} \\ {f\left( 0 \right)} & {} & {x = 0} \\ {{c_2}} & {} & {x < 0} \\ \end{array}} \right.$

όμως $f\left( 1 \right) = - 2 \Rightarrow {c_1} = - 2$

Επομένως, $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2} & {} & {x > 0} \\ {f\left( 0 \right)} & {} & {x = 0} \\ {{c_2}} & {} & {x < 0} \\ \end{array}} \right.$

τελικά από την συνέχεια της συνάρτησης

στο σημείο ${x_0} = 0$ παίρνουμε

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = f\left( 0 \right) \Leftrightarrow - 2 = {c_2} = f\left( 0 \right)$

δηλαδή $f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2} & {} & {x > 0} \\ { - 2} & {} & {x = 0} \\ { - 2} & {} & {x < 0} \\ \end{array}} \right.$

δηλαδή $f\left( x \right) = - 2,\,\,\,\,x \in R$ άρα σταθερή.

Υπάρχει κάποιο λάθος που δεν βλέπω;

#8

Μάκης Χατζόπουλος έγραψε:Υπάρχει κάποιο λάθος που δεν βλέπω;

Νομίζω πως όχι, γιατί πολύ απλά κάνεις όλα αυτά που σου υποδεικνύονται παραπάνω.

Σταθερή συνάρτηση

Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Re: Σταθερή συνάρτηση

Μέλη σε σύνδεση