εκθετική - πρόοδοι

Ιστοσελίδα · #1

Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και λ, αν οι αριθμοί
$\displaystyle{ \alpha = e^{2x} - \lambda ^2 }$ , $\displaystyle{ \beta = e^x - \lambda }$ , $\displaystyle{ \gamma = e^{3x} - 3\lambda ^2 }$
είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και έχουν άθροισμα 3

___________________________________________________
εκθετική συνάρτηση, αριθμητική πρόοδος
___________________________________________________

hlkampel · #2

Καρδαμίτσης Σπύρος έγραψε:Να βρείτε τους πραγματικούς αριθμούς x και λ, αν οι αριθμοί
$\displaystyle{ \alpha = e^{2x} - \lambda ^2 }$ , $\displaystyle{ \beta = e^x - \lambda }$ , $\displaystyle{ \gamma = e^{3x} - 3\lambda ^2 }$
είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου και έχουν άθροισμα 3

___________________________________________________
εκθετική συνάρτηση, αριθμητική πρόοδος
___________________________________________________

$\alpha + \beta + \gamma = 3 \Rightarrow \alpha + \gamma = 3 - \beta \quad (1)$

α,β,γ διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, έτσι:
$\alpha + \gamma = 2\beta \mathop \Rightarrow \limits^{(1)} 3 - \beta = 2\beta \Rightarrow \beta = 1$

Έτσι $e^x - \lambda = 1 \Rightarrow \lambda = e^x - 1 \Rightarrow \lambda ^2 = e^{2x} - 2e^x + 1\quad (2)$

Από την (1) με β=1 έχω:
$\begin{array}{l} \alpha + \gamma = 2 \Rightarrow \\ e^{2x} - \lambda ^2 + e^{3x} - 3\lambda ^2 = 2 \Rightarrow \\ e^{3x} + e^{2x} - 4\lambda ^2 - 2 = 0\mathop \Rightarrow \limits^{(2)} \\ e^{3x} + e^{2x} - 4e^{2x} + 8e^x - 4 - 2 = 0 \Rightarrow \\ e^{3x} - 3e^{2x} + 8e^x - 6 = 0 \Rightarrow \\ \left( {e^x - 1} \right)\left( {e^{2x} - 2e^x + 6} \right) = 0\quad \left( {Horner} \right) \\ \end{array}$

Άρα $e^x = 1 \Rightarrow x = 0$ ή $e^{2x} - 2e^x + 6 = 0$ η οποία είναι αδύνατη γιατί $\Delta = - 20 < 0$

εκθετική - πρόοδοι

εκθετική - πρόοδοι

Re: εκθετική - πρόοδοι

Μέλη σε σύνδεση