Ανισότητα

#1

Αν για κάθε ε>0 ισχύει : $\displaystyle{\displaystyle a \leqslant \beta + \varepsilon }$ , τότε να αποδείξετε πως $\displaystyle{\displaystyle a \leqslant \beta }$

hsiodos · #2

Καλημέρα
Αν δεχθούμε ότι α > β τότε α - β > 0 και παίρνοντας ε = (α-β)/2 έχουμε

$a \leq \beta +\varepsilon \Leftrightarrow a\leq \beta +\frac{a-\beta }{2}\Leftrightarrow 2a\leq 2\beta +a-\beta \Leftrightarrow a\leq \beta$ , άτοπο
Συνεπώς $a\leq \beta$

Γιώργος

#3

Καλημέρα!

Νομίζω πως πρέπει να υποθέσουμε ότι οι $\alpha$ και $\beta$ είναι θετικοί πραγματικοί!

Τότε το παραπάνω είναι άμεση συνέπεια της Αρχιμήδειας ιδιότητας των πραγματικών αριθμών (διαλέγοντας $\epsilon=\frac{1}{n}$ με $n\in N$ ).

Στην απόδειξη του Γιώργου αν το $\alpha$ είναι αρνητικός και το $\beta$ θετικός τότε το $\epsilon=\frac{\alpha-\beta}{2}$ δεν είναι θετικός.

Νικόλαος Κατσίπης

hsiodos · #4

nkatsipis έγραψε:Καλημέρα!

Νομίζω πως πρέπει να υποθέσουμε ότι οι $\alpha$ και $\beta$ είναι θετικοί πραγματικοί!

Τότε το παραπάνω είναι άμεση συνέπεια της Αρχιμήδειας ιδιότητας των πραγματικών αριθμών (διαλέγοντας $\epsilon=\frac{1}{n}$ με $n\in N$ ).

Στην απόδειξη του Γιώργου αν το $\alpha$ είναι αρνητικός και το $\beta$ θετικός τότε το $\epsilon=\frac{\alpha-\beta}{2}$ δεν είναι θετικός.

Νικόλαος Κατσίπης

Φίλε Νίκο
Αν α < 0 και β >0 τότε ισχύει προφανώς α < β .

#5

Kαλημέρα! Μα Νίκο, ο Γιώργος υποθέτει πως α>β κι εσύ λες αν α αρνητικός και β θετικός....Κάτι σε μπέρδεψε;

#6

hsiodos έγραψε:
nkatsipis έγραψε:Καλημέρα!

Νομίζω πως πρέπει να υποθέσουμε ότι οι $\alpha$ και $\beta$ είναι θετικοί πραγματικοί!

Τότε το παραπάνω είναι άμεση συνέπεια της Αρχιμήδειας ιδιότητας των πραγματικών αριθμών (διαλέγοντας $\epsilon=\frac{1}{n}$ με $n\in N$ ).

Στην απόδειξη του Γιώργου αν το $\alpha$ είναι αρνητικός και το $\beta$ θετικός τότε το $\epsilon=\frac{\alpha-\beta}{2}$ δεν είναι θετικός.

Νικόλαος Κατσίπης
Φίλε Νίκο
Αν α < 0 και β >0 τότε ισχύει προφανώς α < β .

Σωστά!Κάτι άλλο είχα στο μυαλό μου!

Νίκος

#7

Συνεχίζω να μην καταλαβαίνω γιατί πρέπει να λάβουμε περιπτώσεις...Το άτοπο του Γιώργου, εμένα με έχει καλύψει.

Α.Κυριακόπουλος · #8

Χρήστο, έχεις δίκιο. Δεν χρειάζεται τίποτε άλλο. Το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Ανισότητα

Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Re: Ανισότητα

Μέλη σε σύνδεση