Θα ήθελα να αναφερθώ σε μία βασική πρόταση που η γνώση της οδηγεί αυτόματα στην λύση.
« Έστω οξυγώνιο τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O,R). Θεωρούμε τα ύψη του AD, BF και έστω Η το ορθόκεντρο του. Έστω
Τότε υπάρχει σημείο
του μικρού τόξου AC ώστε, 
αν και μόνο αν 
».Λύση:
Έστω S σημείο της χορδής ΑΝ, ώστε
Προφανώς HP=PS και επειδή HF=FK (γνωστή πρόταση) προκύπτει 
Αν τώρα θεωρήσουμε Ν το αντιδιαμετρικό του Ε έχουμε:
Η παράλληλη από το Κ προς την AC τέμνει την ΑΝ στο S. Τότε έχουμε
Άρα το τετράπλευρο HSKA είναι εγγράψιμμο οπότε 
S.E.Louridas
![f(x)=\sqrt[3]{x}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/415c4f39a1a68ccac15da99969baacfc.png "f(x)=\sqrt[3]{x}")
είναι κοίλη στο 
άρα από την ανισότητα Jensen έχουμε:![\begin{aligned}f(a^2+2bc)+f(b^2+2ca)+f(c^2+2ab) &\leq 3 f\left(\displaystyle\frac{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}{3}\right) \\ &=3\sqrt[3]{\left\frac{(a+b+c)^2}{3}}=3\sqrt[3]{12}\end{aligned}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/f221ab99d6dede5d09fc1e642a747595.png "\begin{aligned}f(a^2+2bc)+f(b^2+2ca)+f(c^2+2ab) &\leq 3 f\left(\displaystyle\frac{(a^2+2bc)+(b^2+2ca)+(c^2+2ab)}{3}\right) \\ &=3\sqrt[3]{\left\frac{(a+b+c)^2}{3}}=3\sqrt[3]{12}\end{aligned}")
![\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}\geq \displaystyle\frac{x+y+z}{3}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/d4eb52cff4a028f6df2f7c30ebbea334.png "\sqrt[3]{\displaystyle\frac{x^3+y^3+z^3}{3}}\geq \displaystyle\frac{x+y+z}{3}")
.
, ότι το 
είναι το μέσον του 
.
είναι στη μεσοκάθετο του 
, 
, δηλαδή 
. Όμως 
, επειδή βαίνουν στο ίδιο τόξο, και για τον ίδιο λόγο 
. Συνεπώς 
, και, επειδή 
, 
. Άρα η 
είναι ύψος, όμως επειδή 
, 
είναι το μέσον του 
(1). Επίσης, από υπόθεση, 
και 
(2).
έχουμε:![\displaystyle{b^2+c^2\geq 2bc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2+2bc\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{a^2+2bc}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/2911d72194015b67739e557e9bebefaa.png "\displaystyle{b^2+c^2\geq 2bc\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq a^2+2bc\Leftrightarrow \sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{a^2+2bc}}")
με την ισότητα να ισχύει για 
![\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{b^2+2ca}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/9b23e5d6bb0fbb509c87f731ebd0d656.png "\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{b^2+2ca}}")
![\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{c^2+2ab}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/93cffcd0f168d86dc6ac59f6c8f66f65.png "\displaystyle{\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}\geq \sqrt[3]{c^2+2ab}}")
![\displaystyle{S \leq 3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/7a317a7b73d1226c06035c78b92e4e6c.png "\displaystyle{S \leq 3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}")
με την ισότητα να ισχύει για 
λαμβάνεται όταν η παράσταση πάρει τη μορφή ![\displaystyle{3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/28496f83be54fb821b8aefd91a426a4d.png "\displaystyle{3\sqrt[3]{a^2+b^2+c^2}}")
, κάτι που γίνεται όταν 
λαμβάνουμε 
.![\displaystyle{3\sqrt[3]{12}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/c7bf895224a0778d081c6c63c21ced67.png "\displaystyle{3\sqrt[3]{12}}")
.
για τα πολλά χρώματα στα μετάλλια 
)
χρησιμοποιώντας τη συνθήκη. Πες S την αρχική παράσταση, Τ αυτό που βρήκες μετά την αντικατάσταση, και R το άνω φράγμα που βρήκες εσύ. Ξέχνα τα α,β,γ. Σου ζητάει να αποδείξεις ότι S<=T. Εσύ δείχνεις S<=R και μετά λες ότι όταν Τ=R τότε S<=R. Αυτό ισχύει προφανώς όμως αφού όταν Τ=R τότε και S=T... Άρα δεν μας λες κάτι που δεν ξέραμε. Το θέμα είναι να δούμε τι συμβαίνει όταν Τ<R δηλαδή 'σχεδόν πάντα'...