Σημεία Καμπής

xgastone · #1

Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης r,r(x)= x - ln(e^x-x) καθώς και να αποδείξετε ότι η r έχει ακριβώς 2 σημεία καμπής.

PanosG · #2

xgastone έγραψε:Nα βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης r,r(x)= x - ln(e^x-x) καθώς και να αποδείξετε ότι η r έχει ακριβώς 2 σημεία καμπής.

Κάνω μια προσπάθεια αν και μυρίζομαι πολλές πράξεις...
Για να ορίζεται η r πρέπει $e^x-x>0\Leftrightarrow e^x>x$ το οποίο όμως ισχύει για κάθε x (προκύπτει εύκολα απο την μελέτη της μονοτονίας της f(x)=e^x-x-1

).Άρα $D_r=\mathbb{R}$
$\displaystyle r'(x)=1-\frac{e^x-1}{e^x-x}=\frac{1-x}{e^x-x}$ και $r'(x)\geq0\Leftrightarrow 1-x\geq0\Leftrightarrow x\leq1$
Επομένως η r είναι γνησίως αύξουσα για $x\leq1$ και γνησιώς φθίνουσα για $x\geq1$
Ορισμένα όρια που θα χρειαστούμε είναι:
$\bullet$ \displaystyle{\displaystyle \mathop \lim_{x\rightarrow -\infty}\frac{1}{e^x-x}=0

\bullet} $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{e^x} \overset{D.L.H}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1}{e^x}=0$
$\bullet$ \displaystyle{\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}(e^x-x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}e^x(1-\frac{x}{e^x})=+\infty

\bullet} $\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{e^x}{e^x-x}\overset{D.L.H}{=}\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{e^x}{e^x-1}=\lim_{x\rightarrow +\infty} \frac{1}{1-\frac{1}{e^x}}=1$
Για το σύνολο τιμών της r έχουμε:

$\displaystyle \mathop \lim_{x\rightarrow -\infty}r(x)= \lim_{x\rightarrow -\infty}(x-ln(e^x-x))=\lim_{x\rightarrow -\infty}ln\frac{e^x}{e^x-x}=\lim_{x\rightarrow -\infty}ln(e^{x} \cdot \frac{1}{e^x-x})=-\infty$
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}r(x)=\lim_{x\rightarrow +\infty}ln\frac{e^x}{e^x-x}=ln1=0$
$\displaystyle r(1)=1-ln(e-1)=ln\frac{e}{e-1}>0$
Επομένως το σύνολο τιμών της r είναι:
$\displaystyle A=( \lim_{x\rightarrow -\infty}r(x),r(1)]\cup( \lim_{x\rightarrow +\infty}r(x),r(1)]=(-\infty,ln\frac{e}{e-1}]$
Η δεύτερη παράγωγος της r είναι:
$\displaystyle r''(x)=\frac{xe^x-2e^x+1}{(e^x-x)^2}$
Αρκεί να δείξουμε ότι η g(x)=xe^x-2e^x+1

έχει ακριβώς 2 ρίζες
g'(x)=e^x+xe^x-2e^x=xe^x-e^x=e^x(x-1)

$g'(x)\geq0\Leftrightarrow x\geq 1$ οπότε η g γνησίως φθίνουσα στο $(-\infty, 1]$ και γνησίως αύξουσα στο $[1,+\infty)$
$g(-2)=\frac{e^2-4}{e^2}>0$
g(1)=1-e<0

Οπότε απο Bolzano στα διαστήματα (-2,1) και (1,2) η g έχει 2 τουλάχιστον ρίζες οι οποίες είναι μοναδικές απο την μονοτονία της g

#3

....μιά βραδυνή προσπάθεια....

Είναι ${r}'(x)=1-\frac{{{e}^{x}}-1}{{{e}^{x}}-x}=\frac{1-x}{{{e}^{x}}-x}$ απ΄ όπου

${r}'(x)=0\Leftrightarrow \frac{1-x}{{{e}^{x}}-x}=0\Leftrightarrow x=1$

${r}'(x)>0\Leftrightarrow x<1$ και ${r}'(x)<0\Leftrightarrow x>1$ άρα η

είναι γνήσια αύξουσα στο ${{\Delta }_{1}}=(-\infty ,\,1]$ και γνήσια φθίνουσα στο ${{\Delta }_{2}}=[1,\,\,+\infty )$

επομένως $r({{\Delta }_{1}})=(\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,r(x),\,\,r(1)]$

Τώρα $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,r(x)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,(x-\ln ({{e}^{x}}-x))=-\infty$ γιατί

= $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( {{e}^{x}}-x \right)=\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,{{e}^{x}}\left( 1-\frac{x}{{{e}^{x}}} \right)=+\infty$ αφού $\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x}{{{e}^{x}}}=0$ με

DLH από (1) $\underset{u\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,=\ln u=+\infty$ και $r(1)=1-\ln (e-1)$

επομένως το σύνολο τομών της

είναι $(-\infty ,\,\,\,\,1-\ln (e-1)]$ αφού το $r(1)=1-\ln (e-1)$ είναι ολικό μέγιστο.

Επίσης ${r}''(x)=....=\frac{x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}+1}{{{e}^{x}}-x}$ (2) Θεωρώντας την $g(x)=x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}+1$ έχει

${g}'(x)={{e}^{x}}+x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}=(x-1){{e}^{x}}$ οπότε

γνήσια αύξουσα στο $(-\infty ,\,\,\,1]$ και γνήσια φθίνουσα στο $[1,\,\,+\infty )$

και αφού $g(-2)=-2{{e}^{-2}}-2{{e}^{-2}}+1=1-\frac{4}{{{e}^{2}}}>0$ , $g(-1)=-{{e}^{-1}}-2{{e}^{-1}}+1=1-\frac{3}{e}<0$ από θεώρημα Bolzano

υπάρχει ${{x}_{1}}\in (-2,\,\,-1)$ ώστε $g({{x}_{1}})=0$ που είναι μοναδικό αφού η

γνήσια αύξουσα στο $(-\infty ,\,\,\,1]$ και

$g(2)=2{{e}^{2}}-2{{e}^{2}}+1=1>0$ και g(1)=e-2e+1=1-e<0

υπάρχει ${{x}_{2}}\in (1,\,\,\,2)$ ώστε $g({{x}_{2}})=0$ που είναι μοναδικό αφού η

γνήσια φθίνουσα στο $[1,\,\,+\infty )$

οπότε ${r}''({{x}_{1}})={r}''({{x}_{2}})=0$ μοναδικά σημεία καμπής της

(το πρόσημο της {r}''(x)

αλλάζει εκατέρωθεν των ${{x}_{1}},\,{{x}_{2}}$

ριζών της $g(x)=x{{e}^{x}}-2{{e}^{x}}+1$ αφού η

γνήσια μονότονη στα διαστήματα που βρίσκονται οι ρίζες…)

Φιλικότατα Βασίλης

Σημεία Καμπής

Σημεία Καμπής

Re: Σημεία Καμπής

Re: Σημεία Καμπής

Μέλη σε σύνδεση