ΣΧΟΛΙΚΟ ΟΡΙΟ

Σκοτίδας Σωτήριος · #1

Ένα όριο που θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις με το σύστημα των Δεσμών και υπό προϋποθέσεις στις σημερινές Πανελλήνιες.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{n}{{n + k}}} \right)}^p}} } \right]\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,p \in {N^*} - \left\{ 1 \right\}\,\,,\,\,\,\,n\, \in N$

hsiodos · #2

Σκοτίδας Σωτήριος έγραψε:Ένα όριο που θα μπορούσε να τεθεί στις εξετάσεις με το σύστημα των Δεσμών και υπό προϋποθέσεις στις σημερινές Πανελλήνιες.

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \left[ {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( {\frac{n}{{n + k}}} \right)}^p}} } \right]\,\,\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,p \in {N^*} - \left\{ 1 \right\}\,\,,\,\,\,\,n\, \in N$

Καλό βράδυ σε όλους

Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{f(x) = \frac{1}{{(x + 1)^p }}}$ που είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα $\displaystyle{\,\left[ {0,1} \right]}$ και την διαμέριση

$\displaystyle{ \left\{ {0 = x_0 < x_1 < x_2 < \cdot \cdot \cdot < x_{n - 1} < x_n = 1} \right\}\,\,\,,\,\,x_k = \frac{k}{n}\,\,,\,\,k = 1,2,...,n}$ του διαστήματος αυτού.

Είναι $\displaystyle{ f(x_1 ) = \left( {\frac{n}{{n + 1}}} \right)^p \,\,,\,\,\,f(x_2 ) = \left( {\frac{n}{{n + 2}}} \right)^p ,\,\,\,...\,\,,\,\,f(x_n ) = \left( {\frac{n}{{n + n}}} \right)^p }$

και $\displaystyle{ \sum\limits_{k = 1}^n {f(x_k )} = \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{n}{{n + k}}} \right)^p } }$

Έτσι $\displaystyle{ \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\frac{n}{{n + k}}} \right)^p } } \right) = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {\frac{1}{n}\sum\limits_{k = 1}^n {f(x_k )} } \right) = \int_0^1 {f(x)dx} = \int_0^1 {(x + 1)^{ - p} dx} }$

$\displaystyle{ = \frac{1}{{1 - p}}\int_0^1 {(1 - p)(x + 1)^{ - p} (x + 1){'} dx} = \frac{1}{{1 - p}}\int_0^1 {\left( {(x + 1)^{1 - p} } \right){'} dx} = \frac{1}{{1 - p}}\left[ {(x + 1)^{1 - p} } \right]_0^1}$ $\displaystyle{ = \frac{1}{{1 - p}}\left( {2^{1 - p} - 1} \right) = \frac{{1 - 2^{1 - p} }}{{p - 1}}}$

Γιώργος

ΣΧΟΛΙΚΟ ΟΡΙΟ

ΣΧΟΛΙΚΟ ΟΡΙΟ

Re: ΣΧΟΛΙΚΟ ΟΡΙΟ

Μέλη σε σύνδεση