Απλή-διδακτική

G.Tsikaloudakis · #1

Δίνεται η συνάρτηση:

$\displaystyle{ f(x) = \frac{{{\rm{ }}\alpha ^2 }}{4}x^4 - \frac{{{\rm{ 2}}\alpha }}{3}x^3 + \frac{{{\rm{ }}\alpha + 2}}{2}x^2 }$

Να βρείτε για ποιες τιμές του $\alpha \in R$

1. η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο -1.

2. η f παρουσιάζει σημείο καμπής στο -1.

KARKAR · #2

Η

ως πολυώνυμο ορίζεται και παραγωγίζεται δις σ΄ ολόκληρο το

.

Είναι : $f'(x)=a^{2}x^{3}-2ax^{2}+(a+2)x$ . Για να έχει η

ακρότατο στο

, πρέπει (χωρίς να αρκεί )

f'(-1)=0

δηλαδή : $-a^{2}-2a-a-2=0\Leftrightarrow a=-2 \vee a=-1$

Για a=-2

είναι

οπότε , επειδή η f'(x)<0, x<-1

και

έχουμε ελάχιστο.

Αντίθετα για a=-1

είναι $f'(x)=x(x+1)^{2}$ , δηλαδή η

έχει το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του

,

δηλαδή δεν έχουμε ακρότατο.

Επίσης είναι $f''(x)=3a^{2}x^{2}-4ax+a+2$ , και πάλι πρέπει (χωρίς να αρκεί) f''(-1)=0

, που δίνει $\displaystyle a=-1\vee a=-\frac{2}{3}$ .

Για a=-1

παίρνω

, που δίνει σημείο καμπής , ενώ για $\displaystyle a=-\frac{2}{3}$ έχω $f''(x)=\frac{4}{3}(x+1)^2$ ,

κι έτσι στο

δεν έχουμε σημείο καμπής , αφού η f''

έχει το ίδιο πρόσημο εκατέρωθεν του

.

Απλή-διδακτική

Απλή-διδακτική

Re: Απλή-διδακτική

Μέλη σε σύνδεση