Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

#1

Δίνονται παραγωγίσιμες συναρτήσεις $f_1,\ldots,f_n:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ και θετικοί αριθμοί $a_{ij}$ $(1 \leqslant i,j \leqslant n)$ ώστε
(α) $\displaystyle{\lim_{x \to \infty}f_i(x) \to 0}$ για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$
(β) $\displaystyle{f_i{'}(x) = \sum_{j=1}^n a_{ij}f_j(x)}$ για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$ και κάθε $x \in \mathbb{R}$ .

Να εξεταστεί αν οι συναρτήσεις $f_1,\ldots,f_n$ είναι γραμμικώς εξαρτημένες.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

KapioPulsar · #2

μια ιδέα..

Έστω Μ ένας ΝxN πίνακας ( $a_{ij}$ )
Το ίχνος ειναι θετικό , οπότε υπάρχει ιδιοτιμη λ με πραγματικό μέρος θετικό
Εστω v το αντίστιχο ιδιοδιάνισμα : $y=\sum v_i f_i(x)$ με $y'=\sum v_i a_{ij} f_j(x)=\lambda \sum v_j f_j(x) =\lambda y$
Άρα y'=λy οπότε $y=C e^{\lambda x}$ και αφού το πραγματικό μέρος του λ ειναι θετικό τοτε η $|e^{\lambda x} |$ δεν πάει στο μηδέν όταν το x->∞ και λόγο της (α) => C=0 άρα υπάρχει ενας γραμμικός συνδιασμός των f_i

ίσος με 0 άρα τα f_i

δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα.

#3

Ωραία. (Μόνο που το τελικό συμπέρασμα είναι ότι τα f_i

δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα.)

Ας δούμε και ένα επιπλέον ερώτημα: Να δειχθεί ότι με τις ίδιες συνθήκες, για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$ το f_i

είναι γραμμικός συνδυασμός των $f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},\ldots,f_n$ .

KapioPulsar · #4

Ναί σόρρυ...

Ilias_Zad · #5

Demetres έγραψε:Ωραία. (Μόνο που το τελικό συμπέρασμα είναι ότι τα δεν είναι γραμμικά ανεξάρτητα.)

Ας δούμε και ένα επιπλέον ερώτημα: Να δειχθεί ότι με τις ίδιες συνθήκες, για κάθε $1 \leqslant i \leqslant n$ το είναι γραμμικός συνδυασμός των $f_1,\ldots,f_{i-1},f_{i+1},\ldots,f_n$ .

Ίδια δουλειά με το ιδιοδιάνυσμα να επιλεχτεί με θετικές συντεταγμένες απο frobenious. (http://en.wikipedia.org/wiki/Perron%E2% ... us_theorem)

Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Re: Γραμμικώς εξαρτημένες συναρτήσεις

Μέλη σε σύνδεση