Τρίγωνο και διχοτόμος

#1

Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 , ΑΓ = 12 και η γωνία Α είναι ίση με 120 μοίρες. Να βρεθεί το μήκος της διχοτόμου ΑΔ.

Μπάμπης

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=4 , ΑΓ = 12 και η γωνία Α είναι ίση με 120 μοίρες. Να βρεθεί το μήκος της διχοτόμου ΑΔ.

Μπάμπης

καλημέρα ..

,καλημέρα Μπάμπη ..

είναι : $\displaystyle{\boxed{\delta_a=\frac{2 b c}{b+c}\cos(\frac{A}{2})}\longrightarrow \delta_a=3}$
απόδειξη του τύπου:

$\displaystyle{(ABC)=(ACD)+(ABD)\Longrightarrow \frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}b\delta_a \sin(\frac{ A}{2})+\frac{1}{2}c\delta_a \sin(\frac{ A}{2})\Longrightarrow}$ $\displaystyle{2 bc\,\ \cancel {\sin(\frac{ A}{2})}\cos(\frac{ A}{2})=b\delta_a \,\ \cancel{\sin(\frac{ A}{2})}+c\delta_a\,\ \cancel{\sin(\frac{ A}{2})}\Longrightarrow \delta_a=\frac{2 b c}{b+c}\,\ \cos(\frac{A}{2})}}$

Ιστοσελίδα · #3

Με πλευρά ${\rm A}{\rm B} = 4$ κατασκευάζω ισόπλευρο τρίγωνο ${\rm A}{\rm B}{\rm E}$ ( $\Delta$ σημείο της ${\rm A}{\rm E}$ ). Εφόσον ${\rm A}\widehat {\rm B}\Delta < {\rm A}\widehat \Delta {\rm B}$ θα είναι ${\rm A}\Delta = x < 4$ .

Αφού ${\rm B}\widehat {\rm A}\Gamma + {\rm A}\widehat {\rm B}{\rm E} = {120^ \circ } + {60^ \circ } = {180^ \circ }$ θα ισχύει ${\rm A}\Gamma //{\rm B}{\rm E}$ , οπότε από Θεώρημα Θαλή παίρνω: $\displaystyle\frac{x}{{4 - x}} = \displaystyle\frac{{12}}{4} \Rightarrow x = 3$ .

irakleios · #4

Και μία άλλη

Φέρνω τις ΔΗ και ΔΖ κάθετες στις ΑΒ και ΑΓ αντίστοιχα. Τότε ΔΗ = ΖΔ
Επίσης από το Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου θα είναι ΓΔ = 3ΒΔ = 3y.

Από το σχήμα λόγω του Π.Θ παίρνουμε (4-x)^2 + 3x^2 = y^2 , (12 - x)^2 + 3x^2 = 9y^2

άρα

λυνοντας βρίσκουμε x =1,5 και τότε ΑΔ = 2x= 3(αφού είναι διπλάσια της ΑΗ=x λόγω της γωνίας των 30)

: mathematica.geom.png (18.08 KiB) Προβλήθηκε 561 φορές

#5

ακόμα μία ...
------------------------

παίρνουμε σημεία G,K

στην

τότε

ισοσκελές $\hat{ABG}=30^o\longrightarrow AM=2$

προεκτείνουμε την

κατά ίσο τμήμα

στο τρίγωνο BCZ

η

είναι διάμεσος και το

βαρύκεντρο αφού GC=2GA

,άρα το

μέσο της

αλλά και το

μέσο της $BH,\,\,(BA=AZ ,\, AD // ZG)$

$4=ZG=2 GH\rightarrow GH=2\longrightarrow MD=\frac{GH}{2}\longrightarrow MD=1 \Longrightarrow \boxed{AD=3}$

Τρίγωνο και διχοτόμος

Τρίγωνο και διχοτόμος

Re: Τρίγωνο και διχοτόμος

Re: Τρίγωνο και διχοτόμος

Re: Τρίγωνο και διχοτόμος

Re: Τρίγωνο και διχοτόμος

Μέλη σε σύνδεση