Μήτηρ μαθήσεως

KARKAR · #1

Δίνεται η συνάρτηση : f(x)=x+sinx

, $x\in \mathbb{R}$

1) Αφού διαπιστώσετε την αντιστρεψιμότητα της

, εξετάστε αν η $f^{-1}$ είναι παραγωγίσιμη .

2) Υπάρχει $x_{0}\in (0 , \pi )$ , τέτοιο ώστε οι εφαπτόμενες στα στα σημεία $A(x_{0}, f(x_{0}))$ και $B(x_{0} , f^{-1}(x_{0}))$ , να είναι παράλληλες ;

3) Έχει η $f^{-1}$ πλάγιες ασύμπτωτες ;

4) Βρείτε το $\displaystyle \int_{0}^{\pi }\left[(f(x)-{f^{-1}(x)\right] dx}$

(θα πάρετε τόνο αν το τελευταίο ερώτημα το λύσετε με δύο τρόπους ! )

#2

...καλημέρα

δίνω μιά προσπάθεια στηριζόμενη σε γνωστά λήμματα και γεωμετρικές ερμηνειες..(...ξέρω δεν θα πάρω καλό βαθμό...)..
αλλά η ανταλλαγή απόψεων έχει πάντα ενδιαφέρον..

1) Επειδή είναι ${f}'(x)=1+\sigma \upsilon \nu x>0,\,\,\,\,x\ne \pi +2\kappa \pi ,\,\,\kappa \in Z$ η

είναι γνήσια αύξουσα στο R οπότε ‘1-1’ άρα αντιστρέφεται

και η και επειδή η

είναι στο R και παραγωγίσιμη η ${{f}^{-1}}$ είναι παραγωγίσιμη στα ${{y}_{0}}=f({{x}_{0}})$ με ${f}'({{x}_{0}})\ne 0$ δηλαδή για $x\ne \pi +2\kappa \pi$ αφού εκεί {f}'(x)=0

έτσι από $f({{f}^{-1}}(y))=y,\,\,y\in f(R)$ έχουμε ${f}'({{f}^{-1}}(y))({{f}^{-1}}(y){)}'=1\Leftrightarrow ({{f}^{-1}}(y){)}'=\frac{1}{{f}'({{f}^{-1}}(y))}$

2) Στο $[0,\,\,\pi ]$ για την $g(x)=f(x)-{{f}^{-1}}(x)$ ισχύουν οι προυποθέσεις του Rolle ….

3) Επειδή $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(1+\frac{\eta \mu x}{x})=1$ και το $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(f(x)-x)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,(\eta \mu x)$ δεν υπάρχει η

δεν έχει ασύμπτωτη στο $+\infty$ και όμοια στο $-\infty$ και λόγω συμμετρίας των $f,\,{{f}^{-1}}$ ως προς την y=x

δεν θα έχει και η ${{f}^{-1}}$ ….

4) (α τρόπος) Είναι $I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{f}^{-1}}(x)dx}$ με $u={{f}^{-1}}(x)\Leftrightarrow f(u)=x$ και επειδή η

είναι γνήσια μονότονη στο $[0,\,\,\pi ]$ άρα ‘1-1’ παραγωγίσιμη με παράγωγο ${f}'(x)=1+\sigma \upsilon \nu x$ συνεχή στο $[0,\,\,\pi ]$ έχουμε dx={f}'(u)du

και για

το

και για $x=\pi$ το $u=\pi$ οπότε το $I=\int\limits_{0}^{\pi }{{{f}^{-1}}(x)dx}=\int\limits_{0}^{\pi }{u{f}'(u)du}=\int\limits_{0}^{\pi }{u(1+\sigma \upsilon \nu u)du}=\int\limits_{0}^{\pi }{(u+u\sigma \upsilon \nu u)du}$ επομένως $\int\limits_{0}^{\pi }{[f(x)-{{f}^{-1}}(x)]dx}=\int\limits_{0}^{\pi }{f(x)dx}-\int\limits_{0}^{\pi }{{{f}^{-1}}(x)dx}=\int\limits_{0}^{\pi }{(x+\eta \mu x)dx}-\int\limits_{0}^{\pi }{(x+x\sigma \upsilon \nu x)dx}$ = $\int\limits_{0}^{\pi }{\eta \mu xdx}-\int\limits_{0}^{\pi }{x\sigma \upsilon \nu xdx}=\int\limits_{0}^{\pi }{\eta \mu xdx}-[x\eta \mu x]_{0}^{\pi }+\int\limits_{0}^{\pi }{\eta \mu xdx}=2\int\limits_{0}^{\pi }{\eta \mu xdx}=4$
(β τρόπος)
Γεωμετρικά (…..δεν έχω καταφέρει ακόμη να φτάχνω σχήματα…) λόγω συμμετρίας των $f,\,{{f}^{-1}}$ ως προς την y=x

το $I=\int\limits_{0}^{\pi }{[f(x)-{{f}^{-1}}(x)]dx}$ είναι το εμβαδό που περικλείεται μεταξύ της $f,\,{{f}^{-1}}$ άρα το διπλάσιο εμβαδό μεταξύ των ${{C}_{f}}$ και y=x

άρα $I=2\int\limits_{0}^{\pi }{[f(x)-x]dx}=2\int\limits_{0}^{\pi }{\eta \mu xdx=4}$

#3

Καλημέρα.
Απλά κοιτάζοντας χτές την άσκηση σκέφτηκα πως έχει πολλά στοιχεία που είναι ''εκτός'' ύλης για τα παιδιά
και των οποίων η δικαιολόγηση δε φτάνει να είναι ''περιγραφική''.
Εκτός και αν μπορεί να δικαιολογηθεί με τρόπο που να είναι ''εντός'' ύλης και δεν τον έχω σκεφτεί.

Savvass · #4

Θα μπορούσε κάποιος να εξηγήσει πως βγάλαμε την παραγωγισιμότητα της αντίστροφης στο πρώτο ερώτημα; Για να παραγωγίσουμε την σχέση δεν πρέπει να ξέρουμε ότι και η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη;
Επίσης σε τέτοιες περιπτώσεις μπορούμε να επικαλεστούμε την συμμετρία για να δείξουμε ότι η αντίστροφη είναι συνεχής ή παραγωγίσιμη;

#5

Φίλε Σάββα, ασε το καλύτερα.Θεώρησε το ως μη γενόμενο αν είσαι μαθητής.

KapioPulsar · #6

Savvass έγραψε:Θα μπορούσε κάποιος να εξηγήσει πως βγάλαμε την παραγωγισιμότητα της αντίστροφης στο πρώτο ερώτημα; Για να παραγωγίσουμε την σχέση δεν πρέπει να ξέρουμε ότι και η αντίστροφη είναι παραγωγίσιμη;
Επίσης σε τέτοιες περιπτώσεις μπορούμε να επικαλεστούμε την συμμετρία για να δείξουμε ότι η αντίστροφη είναι συνεχής ή παραγωγίσιμη;

Λοιπόν, ισχύει οτι αν μια f : A->R ειναι μια γν. μονότονη και συνεχής συνάρτηση στο Α και η f ειναι παραγωγίσιμη στο $a \in A$ και $f'(a) \ne 0$ τότε η αντίστοφη $f^{-1} : f(A) \to \mathbb{R}$ έιναι παραγωγίσιμη στο b=f(a)

και με τύπο : $\displaystyle{(f^{-1} )' (b)= \frac{1}{f'(a)}=\frac{1}{f'(f^{-1}(b))}$

αφου αν y=f(x)

kai

έχουμε οτι $y \ne b$ => $f^{-1}(y) \ne f^{-1}(b)$ και y->b=> $f^{-1}(y) \to f^{-1}(b)$ => $x \to a$

Αρα $\displaystyle{(f^{-1}(b))'= lim_{y \to b } \frac{ f^{-1}(y) - f^{-1}(b)}{y-b}$
$=\displaystyle{ lim_{x \to a }\frac{x-a}{f(x)-f(a)} = lim_{x \to a } \frac{1}{\frac{f(x)-f(a)}{x-a}}= \frac{1}{f'(a)}$ .

Νομίζω πως αυτό αρκεί , και είναι "εντός ύλης" εε? ...

KARKAR · #7

Προφανώς τα προβλήματα εντοπίζονται στα ερωτήματα 1) και 3). Ας τα δούμε ..

Ασφαλώς $f , f^{-1}$ συνεχείς δηλαδή αν $x\rightarrow x_{0}$ τότε και $y\rightarrow y_{0}$ , και αντίστροφα .

Ακόμα αν $x\rightarrow +\infty$ τότε και $y\rightarrow +\infty$ , και αντίστροφα .

1) $\displaystyle\lim\limits_{y\to y_{0}}\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_{0})}{y-y_{0}} =\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{x-x_{0}}{f(x)-f(x_{0})} =\lim\limits_{x\to x_{0}}\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$

οπότε αν $\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=0$ , τότε η $f^{-1}$ δεν παραγωγίζεται στο $y_{0}=f(x_{0})$ ,

αλλά παραγωγίζεται παντού αλλού , δηλαδή για κάθε $y=f(x) , x\neq(2n+1)\pi , n\in{Z}$

3) $\displaystyle \lim\limits_{y\rightarrow +\infty}\frac{f^{-1}(y)}{y}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{f(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}\frac{x}{x+sinx}=1$

και $\lim\limits_{y\rightarrow +\infty}[f{^-1}(y)-y]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}[x-f(x)]=\lim\limits_{x\rightarrow +\infty}(-sinx)$ , το οποίο δεν υπάρχει ..

Μήτηρ μαθήσεως

Μήτηρ μαθήσεως

Re: Μήτηρ μαθήσεως

Re: Μήτηρ μαθήσεως

Re: Μήτηρ μαθήσεως

Re: Μήτηρ μαθήσεως

Re: Μήτηρ μαθήσεως

Re: Μήτηρ μαθήσεως

Μέλη σε σύνδεση