ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 1

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ · #1

Προτείνω για λύση την άσκηση 121 από το αρχείο του Θάνου Μάγκου με τις 430 ασκήσεις που είχε την καλοσύνη να δημοσιεύσει κάποτε.Έπειτα από τόσους μήνες βρήκα λίγο χρόνο να ασχοληθώ με αυτό και εντυπωσιάστηκα με τον πλούτο του.
Στην παρακάτω άσκηση βρήκα μια λύση.Την προτείνω γιατί θέλω να δω τις σκέψεις και άλλων.

Σε κάθε τρίγωνο ABC αποδείξτε ότι
$\left(sinA+sinB+sinC \right)^{2}\leq 6\left(1+cosAcosBcosC \right)$

#2

Δίνω μια λύση:

Αρκεί να δείξουμε ότι:

$sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C+2sinA.sinB +2sinA.sinC+2sinB.sinC\leq 6(1+cosA.cosB.cosC)$

Όμως:

$A+B+C=\pi \Rightarrow A+B=\pi -C\Rightarrow cos(A+B)=-cosC\Rightarrow cosA.cosB-sinA.sinB=-cosC\Rightarrow cosA.cosB+cosC=sinA.sinB\Rightarrow (cosA.cosB+cosC)^{2}=sin^{2}A.sin^{2}B\Rightarrow cos^{2}A.cos^{2}B+cos^{2}C+2cosA.cosB.cosC=sin^{2}A.sin^{2}B\Rightarrow (1-sin^{2}A).(1-sin^{2}B)+1-sin^{2}C+2cosA.cosB.cosC=sin^{2}A.sin^{2}B\Rightarrow sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C=2+2cosA.cosB.cosC\Rightarrow 3sin^{2}A+3sin^{2}B+3sin^{2}C=6+6cosA.cosB.cosC$
(Σχέση 1)

Τώρα από την γνωστή ανισότητα

$ab+ac+cb\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}$

προκύπτει ότι

$sinA.sinB+sinB.sinC+sinA.sinC\leq sin^{2}A+sin^{2}B+sin^{2}C\Rightarrow 2sinA.sinB+2sinB.sinC+2sinA.sinC\leq 2sin^{2}A+2sin^{2}B+2sin^{2}C$
(Σχέση 2)

Με πρόσθεση τώρα κατά μέλη των σχέσεων (1) και (2) έπεται το ζητούμενο

Ιωάννου Δημήτρης

#3

ΚΕΦΑΛΟΝΙΤΗΣ έγραψε:Σε κάθε τρίγωνο ABC αποδείξτε ότι
$\left(sinA+sinB+sinC \right)^{2}\leq 6\left(1+cosAcosBcosC \right)$

από την : $\boxed{(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2)}$
-----------------------------------------------------------------------------
$(\sin A+ \sin B+ \sin C)^2\leq 3(\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C),\ \ \fbox 1$

------------------------------------------------------------------------------
$\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\sin^2A+\sin^2B+\sin^2(A+B)=$

$=\sin^2A+\sin^2B+(\sin A \cos B+\sin B \cos A)^2=$

$=\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 A \cos^2 B+\sin^2 B \cos^2 A +2\sin A \sin B \cos A \cos B=$

$=(1-\cos^2 A)+(1-\cos^2 B)+(1-\cos^2 A)\cos^2 B+(1-\cos^2 B)\cos^2 A +$ $2 \sin A \sin B \cos A \cos B=$

$=2-2 \cos A \cos B (\cos A \cos B -\sin A \sin B)=$

$=2-2 \cos A \cos B \cos (A+B)=$

$=2+2 \cos A \cos B \cos C=$

$=2(1+ \cos A \cos B \cos C)$

---------------------------------------------------------------------------------------------------

$\fbox 1 \longrightarrow (\sin A+ \sin B+ \sin C)^2\leq 6(1+ \cos A \cos B \cos C)$

----------------------------------------------------------------------------------------------------

dimitris pap · #4

Φωτεινή έγραψε: $\sin^2A+\sin^2B+\sin^2C=\sin^2A+\sin^2B+\sin^2(A+B)=$

$=\sin^2A+\sin^2B+(\sin A \cos B+\sin B \cos A)^2=$

$=\sin^2 A+\sin^2 B+\sin^2 A \cos^2 B+\sin^2 B \cos^2 A +2\sin A \sin B \cos A \cos B=$

$=(1-\cos^2 A)+(1-\cos^2 B)+(1-\cos^2 A)\cos^2 B+(1-\cos^2 B)\cos^2 A +$ $2 \sin A \sin B \cos A \cos B=$

$=2-2 \cos A \cos B (\cos A \cos B -\sin A \sin B)=$

$=2-2 \cos A \cos B \cos (A+B)=$

$=2+2 \cos A \cos B \cos C=$

$=2(1+ \cos A \cos B \cos C)$

Η αλλιώς χρησιμοποιείστε την γνωστή ταυτότητα: $\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}+2\cos{A}\cos{B}\cos{C}=1$ απ'την οποία προκύπτει άμεσα η ζητούμενη ισότητα!

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 1

ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 1

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 1

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 1

Re: ΑΠΟ ΤΟ ΑΡΧΕΙΟ ΤΟΥ ΘΑΝΟΥ 1

Μέλη σε σύνδεση