Mελέτη συνάρτησης (Γ λυκείου)

erxmer · #1

Δίνεται η συνάρτηση $\displaystyle{g(x)=\frac{e^{2x}(2x+1)-2x+1}{e^{2x}-1}}$

1) Να βρεθούν οι ασύμπτωτες

2) Να βρεθεί το εμβαδό E(a) του χωρίου μεταξύ της g την πλάγια ασύμπτωτη και τις ευθείες
x=1, x=a>1

3) Nα βρεθεί το $\displaystyle{\lim_{a \to +\infty}E(a)}$

εως 30/4

chris · #2

Όσο πιο αναλυτικά γίνεται έχουμε:

$\displaystyle g(x)=\frac{e^{2x}\left(2x+1 \right)-2x+1}{e^{2x}-1}=\frac{e^{2x}\left(2x+1 \right)-\left(2x+1 \right)+2}{e^{2x}-1} \Longrightarrow$
$\displaystyle \boxed{g(x)=2x+1+\frac{2}{e^{2x}-1},D_g=\mathbb{R}- \left\{0 \right\}}$

A)
Κατακόρυφες Ασύμπτωτες:
Η

είναι συνεχής στο $(-\infty ,0)$ και στο $(0,+\infty)$ οπότε θα εξετάσουμε αν η x=0

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη.Πράγματι:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 0^{+}}g(x)=\lim_{x\rightarrow 0^{+}}\left[2x+1+\frac{2}{e^{2x}-1} \right]=+\infty$

άρα ο y'y

είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της C_f

.

Ασύμπτωτες στο $(+\infty)$ και στο $(-\infty)$ :
Έχουμε:
$\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\infty}\left[g(x)-\left(2x+1 \right) \right]=\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{2}{e^{2x}-1}=0$
και
$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(\frac{g(x)}{x} \right)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(2+\frac{1}{x}+\frac{2}{x\left(e^{2x}-1 \right)} \right)=2=a$
$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x\rightarrow -\infty}\left(g(x)-2x \right)=\lim_{x\rightarrow -\infty}\left(1+\frac{2}{e^{2x}-1} \right)=-1=b$

Άρα η ευθεία y=2x+1

είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_f

στο $(+\infty)$ και η ευθεία y=2x-1

είναι πλάγια ασύμπτωτη της C_f

στο $(-\infty)$ .

B)
Για x>1

έχουμε: $\displaystyle x>1\Rightarrow e^{2x}>e^2\Rightarrow e^{2x}-1>e^2-1>0 \Rightarrow \frac{2}{e^{2x}-1}>0$ και το ζητούμενο εμβαδό είναι:
$\displaystyle E(a)=\int_{1}^{a}{\left|g(x)-\left(2x+1 \right) \right|dx}= \int_{1}^{a}{\left|\frac{2}{e^{2x}-1} \right|dx}=\int_{1}^{a}{\frac{2}{e^{2x}-1}dx}\stackrel{(2x=u)}=\int_{2}^{2a}{\frac{1}{e^u-1}du}=-\left(\int_{2}^{2a}{\frac{e^u-1-e^u}{e^u-1}du} \right)=-\left(\int_{2}^{2a}{1du}-\int_{2}^{2a}{\frac{e^u}{e^u-1}du} \right)=-\left(2a-2-\left[ln\left(e^u-1 \right) \right]_2^{2a} \right)=ln\left(e^{2a}-1 \right)-2a+2-ln\left(e^2-1 \right)\Longrightarrow$
$\displaystyle \boxed{E(a)=ln\left(e^{2a}-1 \right)-2a+2-ln\left(e^2-1 \right),a>1}$

Γ)
Το ζητούμενο όριο είναι:
$\displaystyle \lim_{a\rightarrow +\infty}E(a)=\lim_{a\rightarrow +\infty}\left[ln\left(e^{2a}-1 \right)-2a+2-ln\left(e^2-1 \right) \right]=\lim_{a\rightarrow +\infty}\left[ln\left(e^{2a}-1 \right)-lne^{2a}+2-ln(e^2-1) \right]=\lim_{a\rightarrow +\infty}\left[ln\left(1-\frac{1}{e^{2a}} \right)+2-ln(e^2-1) \right]=2-ln(e^2-1)$

Mελέτη συνάρτησης (Γ λυκείου)

Mελέτη συνάρτησης (Γ λυκείου)

Re: Mελέτη συνάρτησης (Γ λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση