Μια όμορφη πρόκληση

#1

Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό $n \ge 2$ , ο αριθμός $a=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot ...\cdot\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

antonis kalogirou · #2

αν $\sqrt [n] {n}$ ρητός τότε $\sqrt [n] {n} = x/y$ αν x,y = ακέραιοι άρα $y\sqrt [n] {n} = x$ και αν x=1 και y=1 και n=2 τότε $\sqrt {2} = 1$ που δεν ισχύει (Άτοπο) . Ομοίως για κάθε τιμή του x,y=ακέραιοι και $n\geq 2$

#3

Αντώνη, ξανακοίταξέ το, δεν ζητάει αυτό που γράφεις η άσκηση!!
Φιλικά

antonis kalogirou · #4

ο αριθμός α είναι απειροσύνολο ;

antonis kalogirou · #5

η απλά απειροσειρά ;

#6

antonis kalogirou έγραψε:ο αριθμός α είναι απειροσύνολο ;

Όχι. Ο α είναι το γινόμενο των n-1 αριθμών $\sqrt[2]{2}, \sqrt[3]{3}, ... , \sqrt[n]{n}$ .

Από κάτω γράφω λύση στο πρόβλημα.

Μ.

#7

s.kap έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό $n \ge 2$ , ο αριθμός $a=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot ... \cdot\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος

Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Bertrand: Για κάθε πρώτο

, o επόμενος πρώτος, έστω

, ικανοποιεί $p<q\le 2p$ .

Έστω

o μεγαλύτερος πρώτος με $p\le n$ . Απο το παραπάνω, ο p δεν επανεμφανίζεται μεταξύ όλων των πρώτων παραγόντων των 2, 3, ... , n (απλό).

Αν ο δοθείς αριθμός ήταν ρητός M/N

με M, N πρώτους μεταξύ τους, τότε υψώνοντσς στην δύναμη

θα είχαμε

$\displaystyle {2^{\frac {n!}{2}}\cdot 3^{\frac {n!}{3}}\cdot ... \cdot p^{\frac {n!}{p}} \cdot ... \cdot n^{\frac {n!}{n}} = \left(\frac{M}{N} \right)^{n!}$ .

Αυτό είναι άτοπο από την μοναδικότητα της παράστασης σε πρώτους παράγοντες καθώς ο

αριστερά εμφανίζεται σε δύναμη $\frac{n!}{p}$ ενώ δεξιά σε τουλαχιστον

.

Άρα ο δοθείς αριθμός δεν είναι ρητός.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

antonis kalogirou · #8

συγνώμη αλλά δεν το ήξερα αυτό

#9

antonis kalogirou έγραψε:αν $\sqrt [n] {n}$ ρητός τότε $\sqrt [n] {n} = x/y$ αν x,y = ακέραιοι άρα $y\sqrt [n] {n} = x$ και αν x=1 και y=1 και n=2 τότε $\sqrt {2} = 1$ που δεν ισχύει (Άτοπο) . Ομοίως για κάθε τιμή του x,y=ακέραιοι και $n\geq 2$

Αντώνη, δεν πειράζει που παρανόησες την εκφώνηση. Κανένα πρόβλημα.

Έκανες ωστόσο μία προσπάθεια να δείξεις ότι ο $\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος. Από μόνο του αυτό είναι ενδιαφέρον πρόβλημα. Για ξαναδές όμως την λύση σου, ιδίως στο σημείο που κοκκίνισα: Αν επιλέξεις τα x, y όπως έκανες, τότε δεν καταλήγεις στο ζητούμενο. Το μόνο στο οποίο καταλήγεις είναι ότι η επιλογή των x, y που έκανες δεν είναι η σωστή. Ποιός μου λέει, π.χ. ότι το σωστά x, y, δεν είναι τα x=1414213562, y= 1000000000

ή ποιός ξέρει ποιά άλλα;

Θέτω λοιπόν το εξής ερώτημα για τους νεαρούς μας φίλους:

Δείξτε ότι για $n\ge 2$ ο αριθμός $\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος.

#10

Mihalis_Lambrou έγραψε:
s.kap έγραψε:Να αποδείξετε ότι για κάθε φυσικό $n \ge 2$ , ο αριθμός $a=\sqrt{2}\cdot\sqrt[3]{3}\cdot ... \cdot\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος
Χρησιμοποιούμε την ιδιότητα Bertrand: Για κάθε πρώτο , o επόμενος πρώτος, έστω , ικανοποιεί $p<q\le 2p$ .

Έστω o μεγαλύτερος πρώτος με $p\le n$ . Απο το παραπάνω, ο p δεν επανεμφανίζεται μεταξύ όλων των πρώτων παραγόντων των 2, 3, ... , n (απλό).

Αν ο δοθείς αριθμός ήταν ρητός με M, N πρώτους μεταξύ τους, τότε υψώνοντσς στην δύναμη θα είχαμε

$\displaystyle {2^{\frac {n!}{2}}\cdot 3^{\frac {n!}{3}}\cdot ... \cdot p^{\frac {n!}{p}} \cdot ... \cdot n^{\frac {n!}{n}} = \left(\frac{M}{N} \right)^{n!}$ .

Αυτό είναι άτοπο από την μοναδικότητα της παράστασης σε πρώτους παράγοντες καθώς ο αριστερά εμφανίζεται σε δύναμη $\frac{n!}{p}$ ενώ δεξιά σε τουλαχιστον .

Άρα ο δοθείς αριθμός δεν είναι ρητός.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Μιχάλη, πάντα σε ετοιμότητα!! Ευχαριστώ. Για την ιστορία: Προτάθηκε από τον Ion Nedelcu σε ΄κάποιο παλιό Gazeta Matematica.

stavros11 · #11

Mihalis_Lambrou έγραψε:Δείξτε ότι για $n\ge 2$ ο αριθμός $\sqrt[n]{n}$ είναι άρρητος.

Μία προσπάθεια:

Έστω ότι $\displaystyle{\sqrt[n]{n}\in \mathbb{Q}}$ . Τότε ισχύει $\displaystyle{\sqrt[n]{n}=\frac{x}{y}}$ για κάποια $\displaystyle{x,y\in \mathbb{N}^{*}}$ με $\displaystyle{(x,y)=1}$ .

Άρα θα ισχύει:
$\displaystyle{x=\sqrt[n]{n}y\Rightarrow x^n=ny^n\Rightarrow y^n=\frac{x^n}{n}\Rightarrow n|x}$

Μπορούμε να αντικαταστήσουμε το $\displaystyle{x}$ με $\displaystyle{x=kn}$ , όπου $\displaystyle{k\in \mathbb{N}^{*}}$ .
Άρα:
$\displaystyle{y^n=\frac{k^{n}n^{n}}{n}\Rightarrow y^n=k^{n}n^{n-1}$ . Όμως αφού $\displaystyle{n\geq 2}$ , τότε προκύπτει ότι $\displaystyle{n|y}$ .
Αφού $\displaystyle{n|x}$ και $\displaystyle{n|y}$ τότε $\displaystyle{n}$ κοινός διαιρέτης των $\displaystyle{x,y}$ .

Άτοπο, αφού $\displaystyle{(x,y)=1}$ .

Μια όμορφη πρόκληση

Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Re: Μια όμορφη πρόκληση

Μέλη σε σύνδεση