Το νέο γήπεδο του ΠΑΟ !

KARKAR · #1

Ευθεία $\varepsilon$ περιστρέφεται , διερχόμενη από το σταθερό σημείο S(4 , 0 )

.

Από τα σημεία A (0 , 0 )

,

φέρω τις

, κάθετες προς την $\varepsilon$ .

Δείξτε ότι η μέγιστη τιμή του εμβαδού του τραπεζίου ABCD

, είναι

.

#2

Οι εξισώσεις των ευθειών που διέρχονται από το S είναι: $\displaystyle{ \left\{ \begin{gathered} \left( {\varepsilon _1 } \right):x = 4 \hfill \\ \left( {\varepsilon _\lambda } \right):\psi = \lambda \left( {x - 4} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. }$

Προφανώς για την περίπτωση που η ευθεία έχει εξίσωση $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _1 } \right):x = 4 }$ το «τραπέζιο» είναι ορθογώνιο με εμβαδόν $\displaystyle{ {\rm E} = 4 \cdot 6 = 24\tau .\mu }$

Έστω ότι $\displaystyle{ \left( {\varepsilon _\lambda } \right):\psi = \lambda \left( {x - 4} \right) \Rightarrow \ldots \left( {\varepsilon _\lambda } \right):\lambda x - \psi - 4\lambda = 0 }$ και με $\displaystyle{ \lambda \ne 0 \Rightarrow BC:\psi - 6 = - \frac{1} {\lambda }x \to BC:x + \lambda \psi - 6\lambda = 0 }$

Αν Κ είναι το μέσο της ΑΒ προφανώς $\displaystyle{ {\rm K}\left( {0,3} \right) }$ και αν $\displaystyle{ {\rm K}{\rm K}' \bot \left( \varepsilon \right) }$ τότε $\displaystyle{ \left( {ABCD} \right) = \left( {KK'} \right) \cdot \left( {AN} \right) = d\left( {K,\left( \varepsilon \right)} \right) \cdot d\left( {{\rm A},\left( {BC} \right)} \right):\left( 1 \right) }$

Όμως $\displaystyle{ d\left( {K,\left( \varepsilon \right)} \right) = \frac{{\left| { - 3 - 4\lambda } \right|}} {{\sqrt {\lambda ^2 + 1} }} = \frac{{\left| {4\lambda + 3} \right|}} {{\sqrt {\lambda ^2 + 1} }} }$ και $\displaystyle{ d\left( {{\rm A},\left( {BC} \right)} \right) = \frac{{\left| { - 6\lambda } \right|}} {{\sqrt {\lambda ^2 + 1} }} = \frac{{\left| {6\lambda } \right|}} {{\sqrt {\lambda ^2 + 1} }} }$ οπότε έχουμε: $\displaystyle{ \left( {ABCD} \right) = {\rm E}\left( \lambda \right) = \frac{{\left| {4\lambda + 3} \right|}} {{\sqrt {\lambda ^2 + 1} }} \cdot \frac{{\left| {6\lambda } \right|}} {{\sqrt {\lambda ^2 + 1} }} = \frac{{6\left| {4\lambda ^2 + 3\lambda } \right|}} {{\lambda ^2 + 1}}\mathop \Rightarrow \limits^{4\lambda ^2 + 3\lambda \geqslant 0} {\rm E}\left( \lambda \right) = \frac{{6\left( {4\lambda ^2 + 3\lambda } \right)}} {{\lambda ^2 + 1}} (*) }$ και θα δείξουμε ότι:

$\displaystyle{ {\rm E}\left( \lambda \right) \leqslant 27 \Leftrightarrow \frac{{6\left( {4\lambda ^2 + 3\lambda } \right)}} {{\lambda ^2 + 1}} \leqslant 27 \Leftrightarrow \ldots 3\left( {\lambda ^2 - 6\lambda + 9} \right) \geqslant 0 \Leftrightarrow 3\left( {\lambda - 3} \right)^2 \geqslant 0 }$ πράγμα που ισχύει και το ίσο για $\displaystyle{ \lambda = 3 }$ οπότε έχουμε και το $\displaystyle{ \max E\left( \lambda \right) = E\left( 3 \right) = 27 }$

(*) η αποδοχή $\displaystyle{ 4\lambda ^2 + 3\lambda \geqslant 0 }$ έγινε γιατί τότε θα έχουμε τη μεγιστοποίηση του αριθμητή της έκφρασης του εμβαδού ( $\displaystyle{ 4\lambda ^2 ,3\lambda }$ ομόσημοι)

* και μια μικρή παρατήρηση: Για να σχηματιστεί κυρτό τραπέζιο θα πρέπει να δευμευτούν κατάλληλα οι τιμές του "συντελεστή" (αν υπάρχει) διεύθυνσης της ευθείας που περιστρέφεται γύρω από το C

Φίλε ΚΑRΚΑR

Θέλω με τη σειρά μου να σε ευχαριστήσω για τα πολύ συγκινητικά σου λόγια που έγραψες για μένα και τον υπέροχο Νίκο τον Κυριαζή και

να σου πώ και γώ ότι συμφωνώ μαζί του ότι τώρα είναι πραγματικά δύσκολο να "κόψουμε" την ανάρτηση

Σου υπόσχομαι όμως ότι θα ανοίξω "νέο παράθυρο" μήπως προκαλέσω και κάποιον άλλο συνάδελφο

Και τώρα κοίταξε σε παρακαλώ μήπως έχω κάνει καμιά "πατάτα" στη λύση μου εδώ γιατί με πιέζουν να πάμε για καφέ

Φιλικά και Γεωμετρικά
Με εκτίμηση για την εκτίμηση

Στάθης

#3

Μια προσέγγιση με τα εργαλεία της Τριγωνομετρίας, της Αναλυτικής Γεωμετρίας και της Ανάλυσης.

: 13-04-2011 Γεωμετρία b.jpg (15.13 KiB) Προβλήθηκε 997 φορές

Έστω φ η γωνία που σχηματίζει η ε με τον Οx.

Έστω $\displaystyle 0 < \phi < \frac{\pi }{2}$

Φέρνουμε την BS. Από Πυθ. Θεώρημα στο BSA είναι: $\displaystyle BS = \sqrt {4^2 + 6^2 } = 2\sqrt {13}$

Έστω $\displaystyle \widehat{SBC} = \omega ,\;\;\widehat{ABS} = \kappa$ (σταθερή).

$\displaystyle \begin{array}{l} \left( {BCS} \right) = \frac{1}{2}BC \cdot CS = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt {13} \cdot \sigma \upsilon \nu \omega \cdot 2\sqrt {13} \cdot \eta \mu \omega = 13 \cdot \eta \mu 2\omega \\ \left( {ABS} \right) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AS = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12 \\ \left( {ASD} \right) = \frac{1}{2}AD \cdot SD = \frac{1}{2} \cdot 4\eta \mu \phi \cdot 4\sigma \upsilon \nu \phi = 4\eta \mu 2\phi \\ \end{array}$

Είναι
$\displaystyle \begin{array}{l} \phi = \kappa + \omega \Rightarrow 2\omega = 2\phi - 2\kappa \Rightarrow \eta \mu 2\omega = \eta \mu \left( {2\phi - 2\kappa } \right) \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \eta \mu 2\omega = \eta \mu 2\phi \cdot \sigma \upsilon \nu 2\kappa - \sigma \upsilon \nu 2\phi \cdot \eta \mu 2\kappa \\ \end{array}$

Στο ABS είναι:
$\displaystyle \eta \mu \kappa = \frac{2}{{\sqrt {13} }},\;\sigma \upsilon \nu \omega = \frac{3}{{\sqrt {13} }} \Rightarrow \eta \mu 2\kappa = 2 \cdot \frac{2}{{\sqrt {13} }} \cdot \frac{3}{{\sqrt {13} }} = \frac{{12}}{{13}},\;\sigma \upsilon \nu 2\kappa = \frac{9}{{13}} - \frac{4}{{13}} = \frac{5}{{13}}$

Άρα $\displaystyle \eta \mu 2\omega = \frac{5}{{13}}\eta \mu 2\phi - \frac{{12}}{{13}}\sigma \upsilon \nu 2\phi$

Οπότε $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = \left( {BCS} \right) + \left( {ABS} \right) + \left( {ASD} \right) = 9\eta \mu 2\phi - 12\sigma \upsilon \nu 2\phi + 12$

Η συνάρτηση $\displaystyle f\left( \phi \right) = 9\eta \mu 2\phi - 12\sigma \upsilon \nu 2\phi + 12,\;\;\phi \in \left( {0,\;\frac{\pi }{2}} \right)$ έχει παράγωγο:
$\displaystyle f'\left( \phi \right) = 18\sigma \upsilon \nu 2\phi + 24\eta \mu 2\phi$

Είναι $\displaystyle f'\left( {\phi _0 } \right) = 0 \Leftrightarrow \varepsilon \phi 2\phi _0 = - \frac{3}{4}$

$\displaystyle \varepsilon \phi 2\phi = - \frac{3}{4} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu ^2 2\phi = \frac{1}{{1 + \varepsilon \phi ^2 \phi }} = \frac{{16}}{{25}} \Rightarrow \sigma \upsilon \nu 2\phi = - \frac{4}{5},\;\;\eta \mu 2\phi = \frac{3}{5}$

Οπότε $\displaystyle f\left( {\phi _0 } \right) = 9 \cdot \frac{3}{5} - 12 \cdot \frac{{ - 4}}{5} + 12 = \frac{{27}}{5} + \frac{{48}}{5} + 12 = 27$

και επειδή $\displaystyle f''\left( {\phi _0 } \right) = - 36\eta \mu 2\phi _0 + 48\sigma \upsilon \nu 2\phi _0 < 0$ , το 27 είναι η μέγιστη τιμή του εμβαδού του τραπεζίου ABCD.

ΣΧΟΛΙΟ: Εύκολα δείχνουμε ότι η εξίσωση της (ε) είναι $\displaystyle y = 3\left( {x - 4} \right)$ .

Αν $\displaystyle \phi = \frac{\pi }{2}$ , το ABCD είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με $\displaystyle \left( {ABCD} \right) = 6 \cdot 4 = 24$ .

Αν $\displaystyle \phi = 0$ το σχήμα εκφυλίζεται σε ευθεία με εμβαδό 0.

Για $\displaystyle \frac{\pi }{2} < \phi < \pi$ η ευθεία ε έχει αρνητική κλίση.
Τότε $\displaystyle BC < 4,\;\;AD < 4,\;\;DE < 6 \Rightarrow \left( {ABCD} \right) < 24$ ( γιατί ; )

Μάλιστα για κλίση μικρότερη του $-\frac{2}{3}$ το πολύγωνο είναι μη κυρτό.

ΣΧΟΛΙΟ: Θα μπορούσαμε να αποφύγουμε την υπέρβαση της Β΄Λυκείου λόγω της χρήσης παραγώγων, με τη βοήθεια της συνάρτησης f(x) = α ημx + β συνx. (Δεν το έχω δοκιμάσει, αλλά φαντάζομαι δουλεύει, αν και απαγορευμένο (εκτός ύλης... )

KARKAR · #4

Επειδή

αρκεί να μεγιστοποιηθεί το

. Αλλά το

είναι σημείο του σταθερού κύκλου διαμέτρου

και επομένως το

θα πάρει τη μέγιστη τιμή του όταν διέλθει από το κέντρο

του κύκλου.

Τότε $\displaystyle MO=\frac{AS}{2}=2 , OK=\frac{LS}{2}=2.5\Rightarrow MK=4.5$ , συνεπώς $(ABCD)_{max}=6\cdot4.5=27$

Το νέο γήπεδο του ΠΑΟ !

Το νέο γήπεδο του ΠΑΟ !

Re: Το νέο γήπεδο του ΠΑΟ !

Re: Το νέο γήπεδο του ΠΑΟ !

Re: Το νέο γήπεδο του ΠΑΟ !

Μέλη σε σύνδεση