Επειδή σήμερα υπάρχει λίγος ελεύθερος χρόνος παραθέτω μια άσκηση που κατασκεύασα πέρσι τέτοιον καιρό, επηρεασμένος από θέμα συναδέλφου (ας με συγχωρήσει, δε θυμάμαι ποιό είναι για να αναφέρω το όνομά του) εδώ στο
. Δίνεται η συνάρτηση
Να αποδείξετε ότι:
α) ισχύει
, για κάθε 
.β) η συνάρτηση
είναι συνεχής στο σημείο 
.γ) η συνάρτηση
είναι γνήσια αύξουσα στο πεδίο ορισμού της.δ) υπάρχει μοναδικός αριθμός
τέτοιος, ώστε 
.Ελπίζω να φανεί χρήσιμη στην προετοιμασία των μαθητών σας για τις φετινές εξετάσεις και θα χαρώ να ακούσω τις παρατηρήσεις σας... Τώρα ας χαρούμε τα παιχνίδια που ξεκινάνε σε λίγο...
και 
θα ισχύει ότι 
οπότε ολοκληρώνοντας έχουμε 
![x\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}<f(x)<{{x}^{2}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}\Leftrightarrow x[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}<f(x)<{{x}^{2}}[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}](/forum/ext/geomar/texintegr/latexrender/pictures/827f91e7e8f070b6c7d8a6fa0670a96e.png "x\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}<f(x)<{{x}^{2}}\int\limits_{x}^{{{x}^{2}}}{\frac{(\ln t{)}'}{\ln t}dt}\Leftrightarrow x[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}<f(x)<{{x}^{2}}[\ln (\ln t))]_{x}^{{{x}^{2}}}")
και άρα 
από κριτήριο παρεμβολής έχουμε άρα f συνεχής στο 1
οπότε παραγωγίσιμη με 
που για 
είναι 
άρα η 
ισχύει 
γιατί 
και από κριτήριο παρεμβολής 
και….
οπότε υπάρχει 
ώστε 
….
