max-min

[APOSTOLAKIS]

Δίνεται η συνάρτηση , και .
Για ποιες τιμές των p, q το μέγιστο της συνάρτησης γίνεται ελάχιστο;

[Γιώργος Ρίζος]

Ξεκινώ μια "κλασσική" διερεύνηση σε ένα κενό μεταξύ μαθημάτων.

Για p = 0, είναι
Αν q 0, η f είναι γν. φθιν. στο [-1, 0] και γν. αύξουσα στο [0, 1],
οπότε έχει max τα f(-1) = f(1) = |1 + q|, και παίρνει την ελάχιστη τιμή για q = 0,
την f(-1) = f(1) = 1.

Αν -1 q 0, η f έχει τοπ. μέγιστα τα f(-1) = f(1) = 1 + q και f(0) = -q.
Ελάχιστη τιμή για q = -1/2, την τιμή f(-1) = f(1) = f(0) = 1/2

Αν q < -1, λόγω συμμετρίας της -f(x) με την f(x) στο , εύκολα βλέπουμε ότι το μέγιστο είναι το f(0) = -q > 1.
Οπότε, μέχρι στιγμής ελάχιστο το 1/2.


Στη γενική περίπτωση:
Η f έχει ακρότατο στο .
Θα διερευνήσουμε τις περιπτώσεις: p < -2 ή p > 2 και -2 < p < 2.

Θα συνεχίσουμε αργότερα...
Όποιος προλαβαίνει, ας πάρει τη σκυτάλη!
Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

[Mihalis_Lambrou]

Δίνεται η συνάρτηση , και .
Για ποιες τιμές των p, q το μέγιστο της συνάρτησης γίνεται ελάχιστο;

H απάντηση (γνωστή) είναι .

Γενικότερα, για πολυώνυμα βαθμού n με πρώτο συντελεστή την μονάδα,
η απάντηση είναι το (πολυώνυμο Chebychev)/2^(n-1).

Η θεωρία των πολυωνύμων αυτών είναι καταπληκτική και καλομελετημένη.
Βάλε π.χ. στο Google: chebychev polynomial

Ένα από αυτά που θα σου βγάλει είναι το

http://en.wikipedia.org/wiki/Chebyshev_polynomials (κοίτα εκεί που λέει "3.2 minimal - norm).

Καλό διάβασμα.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου.

[Γιώργος Ρίζος]

Δίνω σε συνημμένο αρχείο μια προσέγγιση της άσκησης, συνέχεια του προηγούμενου μηνύματός μου.
Χρησιμοποίησα μόνο σχολικά μαθηματικά, εφόσον με αυτά και μόνο ασχολούμαι τα τελευταία 22 χρόνια.

Η διαδικασία ήταν αρκετά επίπονη. Σαν να προσπαθείς να σκάψεις το χωράφι με το χέρι, όταν δίπλα σου σουλατσάρουν τα τρακτέρ... Εννοώ την συντομότατη και κομψότατη αντιμετώπιση, που πρότεινε ο Μιχάλης με πολυώνυμα Chebychev!

Κοπιάζοντας με την άσκηση, θυμήθηκα ένα σχετικό κείμενο των Ν. Δεργιαδέ και Μ.Λάμπρου στον Απολλώνιο 3 με τίτλο:
Στοιχειώδη εναντίον Ανωτέρων Μαθηματικών.

Σας παραπέμπω στην εισαγωγή του:
"...Στο παρόν άρθρο θα εξετάσουμε ένα συγκεκριμένο μαθηματικό πρόβλημα. Το χαρακτηριστικό του είναι ότι θα το επιλύσουμε χρησιμοποιώντας τα λιτά εργαλεία των στοιχειωδών μαθηματικών αλλά το οποίο, περιέργως, τα ανώτερα μαθηματικά αντιμετωπίζουν με σαφώς δυσκολότερο τρόπο.
Εδώ όταν μιλάμε για "στοιχειώδη μαθηματικά" εννοούμε τα μαθηματικά που διδασκόμαστε στο Λύκειο. Σε αντιδιαστολή, με τον όρο "ανώτερα μαθηματικά" εννοούμε αυτά που διδάσκονται σε Πανεπιστημιακό επίπεδο και, ως εκ τούτου, οι κάτοχοί τους είναι λιγότεροι.
Είναι γεγονός ότι, συνήθως, είναι ευκολότερο να επιλύσει κανείς ένα πρόβλημα με χρήση ανώτερων μαθηματικών παρά να περιορίζεται μόνο στα στοιχειώδη. Ο κανόνας όμως αυτός έχει εξαιρέσεις ...".

Φιλικά
Γιώργος Ρίζος

Υ.Γ.
1) Δε γνωρίζω σε τι επίπεδο διδασκαλίας απευθυνόταν η άσκηση: Πανεπιστήμιο, ΑΣΕΠ, ... για σχολείο;
2) "Οι εξαιρέσεις επιβεβαιώνουν τον κανόνα".
Αν υπάρχει κάποια απλούστερη λύση με στοιχειώδη μαθηματικά (π.χ. με διαδοχικά φράγματα), που θα επιβεβαίωνε τον κανόνα, θα ήθελα να τη δω.


Ξαναστέλνω το αρχείο. Παρακαλώ διαγράψτε το προηγούμενο.

[Mihalis_Lambrou]

Δίνω σε συνημμένο αρχείο μια προσέγγιση της άσκησης, συνέχεια του προηγούμενου μηνύματός μου.
Χρησιμοποίησα μόνο σχολικά μαθηματικά, εφόσον με αυτά και μόνο ασχολούμαι τα τελευταία 22 χρόνια.

Πολύ ενδιφέρον και διδακτικό το κείμενο.

Νομίζω ότι είναι εξαιρετικό για διδασκαλία σε καλούς μαθητές. Πέρα από τα
μαθηματικά που χρησιμοποιούνται, δίνει την ευκαιρία διδασκαλίας της "καταγραφής με ακρίβεια
των περιπτώσεων που προκύπτουν".

Δεν δοκίμασα να δω με την ίδια μέθοδο το αντίστοιχο πρόβλημα για τα τριτοβάθμια
πολυώνυμα της μορφής .

Η απάντηση πάντως είναι .

Επίσης θέλω να σε ευχαριστήσω για την μνεία του άρθρου μου με τον φίλο και πολύ δυνατό συνάδελφο,
Νίκο Δεργιαδέ. (Ο Νίκος ήταν μέχρι πρόσφατα στο Πειραματκό Θεσσαλονίκης. Τώρα βγήκε σε πρόωρη σύνταξη και απολαμβάνει τους κόπους μιας ζωής.)

Φιλικά,

Μιχάλης.