Aνισότητα 51

erxmer · #1

Δίνεται τρίγωνο ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο ώστε $\displaystyle{l_a=\frac{m_a}{M_a}, l_b=\frac{m_b}{M_b}, l_c=\frac{m_c}{M_c}}$ .
Tα $\displaystyle{m_a, m_b, m_c}$ είναι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων του τριγώνου ενω τα $\displaystyle{M_a, M_b, M_c}$ είναι τα μήκη των διχοτόμων μέχρι να συναντήσουν τον κύκλο.
Αποδείξτε την σχέση
$\displaystyle{\frac{l_a}{sin^2A}+\frac{l_b}{sin^2B}+\frac{l_c}{sin^2C}\geq 3}$ . Πότε ισχύει η ισότητα;

liolios19 · #2

: trig.png (5.81 KiB) Προβλήθηκε 476 φορές

Ονομάσαμε ΑΔ τη διχοτόμο και ΑΜ την $M_{\alpha}$ της εκφώνισης. Τότε από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΒΔ και ΑΜΓ προκύπτει ότι:
$\frac{m_{\alpha}}{\beta}=\frac{\gamma}{M_{\alpha}} \Leftrightarrow m_{\alpha}M_{\alpha}=\beta \gamma\Leftrightarrow m_{\alpha}=\frac{\beta \gamma}{M_{\alpha}}$
Επίσης από το 1ο θεώρημα του Πτολεμαίου για το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ΑΒΜΓ έχουμε:
$M_{\alpha}\alpha=\beta M\Gamma+\gamma MB \Leftrightarrow M_{\alpha}=\frac{MB(\beta +\gamma)}{\alpha}$ (ΜΒ=ΜΓ)
Ακόμη από το νόμο των ημιτόνων για το τρίγωνο ΒΜΓ θα έχουμε:
$\frac{MB}{\alpha}=\frac{\sin A/2}{\sin A}$
Επομένως:
$\frac{l_{\alpha}}{\sin^2 A}=\frac{\beta\gamma}{M^2_{\alpha}\sin^2 A}= \cdots =\frac{\beta\gamma}{sin^2A/2(\beta+\gamma)^2}$
και από το νόμο ημιτόνων για το ΑΒΓ έχουμε:
$\frac{l_{\alpha}}{\sin^2 A}=\frac{\sin B\sin\Gamma}{\sin^2A/2(sin B+sin\Gamma)^2}=\frac{\sin B\sin\Gamma}{\sin^2A/2\cdot(2\sin(\frac{B+\Gamma}{2}) \cos\frac{B-\Gamma}{2})^2}=...\frac{\sin B\sin\Gamma}{sin^2 Acos^2\frac{B-\Gamma}{2}}$
Άρα, χρησιμοποιώντας την ανισότητα Αριθμ -Γεωμ:
$\sum_{cycl}\frac{\sin B \sin\Gamma}{\sin^2A \cos^2(B-\Gamma)/2}\geq 3\sqrt[3]{\prod_{cycl}\frac{\sin B \sin\Gamma}{\sin^2 A \cos^2(B-\Gamma)/2}}=3\sqrt[3]{\prod_{cycl}\frac{1}{\cos^2(B-\Gamma)/2}}\geq 3$
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν, Β=Γ=Α, δηλαδή έχουμε ισόπλευρο τρίγωνο

Aνισότητα 51

Aνισότητα 51

Re: Aνισότητα 51

Μέλη σε σύνδεση