Παράξενη Γεωμετρική συμμετρία!

[Σεραφείμ]

Δίδεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R. Αν ΑΒ=ΓΔ=ΕΖ=R (χορδές σε τυχαίες θέσεις με μήκος ίσο με την ακτίνα) και Κ, Λ. Μ τα μέσα των ΒΓ, ΔΕ και ΖΑ να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.

[Mihalis_Lambrou]

Δίδεται κύκλος κέντρου Ο και ακτίνας R. Αν ΑΒ=ΓΔ=ΕΖ=R (χορδές σε τυχαίες θέσεις με μήκος ίσο με την ακτίνα) και Κ, Λ. Μ τα μέσα των ΒΓ, ΔΕ και ΖΑ να αποδειχθεί ότι το τρίγωνο ΚΛΜ είναι ισόπλευρο.

Την ωραία αυτή άσκηση την θυμάμαι από τα μαθητικά μου χρόνια (πάνε 40 χρόνια). Την έχει η Γεωμετρία του Κανέλλου. Λύνεται εύκολα με μιγαδικούς.

Υπόδειξη: Αν z(A) o μιγαδικός που αντιστοιχεί στο Α, τότε αυτός που αντιστοιχεί στο Β είναι z(A)(συν60 - iημ60). Όμοια για τις άλλες κορυφές. Οι μιγαδικοί που αντιστοιχούν στα μέσα Κ, Λ, Μ πλευρών υπολογίζονται εύκολα. Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

[Σεραφείμ]

Την ωραία αυτή άσκηση την θυμάμαι από τα μαθητικά μου χρόνια (πάνε 40 χρόνια). Την έχει η Γεωμετρία του Κανέλλου. Λύνεται εύκολα με μιγαδικούς.

Υπόδειξη: Αν z(A) o μιγαδικός που αντιστοιχεί στο Α, τότε αυτός που αντιστοιχεί στο Β είναι z(A)(συν60 - iημ60). Όμοια για τις άλλες κορυφές. Οι μιγαδικοί που αντιστοιχούν στα μέσα Κ, Λ, Μ πλευρών υπολογίζονται εύκολα. Και λοιπά.

Φιλικά,

Μιχάλης Λάμπρου

Οντως φίλε μου Μιχάλη, υπάρχει μία όμορφη απόδειξη με μιγαδικούς.
Χμ .. δεν γνωρίζω την απόδειξη του Κανέλλου, θα ήθελα αν μπορούσες κάποια στιγμή να την αναρτήσεις .. να δω αν συμπίπτει με την δική μου .. πραγματικά είναι θαυμάσια!

[Σεραφείμ]

Πρώτη απόδειξη με μιγαδικούς ..

[Σεραφείμ]

Δεύτερη απόδειξη (Γεωμετρική)

[Λάμπρος Μπαλός]

Τη φωτιά μου την άναψε ένας φίλος. Ασχολήθηκα με τη συγκεκριμένη άσκηση και από δω από κει βάλθηκα να συλλέξω όλες τις λύσεις που υπάρχουν. Όσες μπορέσω δηλαδή και βρήκα αρκετές.
Αφού εκφράσω τον θαυμασμό μου για τη λύση που παρατίθεται με τους μιγαδικούς από τον κύριο Σεραφείμ, θα ήθελα να δω το λινκ που έχει στην τελευταία του δημοσίευση και αναφέρεται στην απόδειξη μιας άλλης πρότασης, αυτής με την εξωτερική κατασκευή ισοσκελών τριγώνων.
Αντιγράφω αργά αργά το λινκ αλλά ... error.

[Tolaso J Kos]

Αντιγράφω αργά αργά το λινκ αλλά ... error.

Λάμπρο, για δες το τώρα εδώ.

[Λάμπρος Μπαλός]

Αντιγράφω αργά αργά το λινκ αλλά ... error.

Λάμπρο, για δες το τώρα εδώ.

Απόστολε σε ευχαριστώ πολύ.