Συνάρτηση από το (α,β) στο R

Γιώργος Απόκης · #1

Mε αφορμή το ότι η γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f(x)=\epsilon \phi x$ απεικονίζει το διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ στο R, συζητούσα με μαθητές το "παράδοξο" :
το διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το R. Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι να βρεθεί γνησίως μονότονη συνάρτηση
με πεδίο ορισμού ένα οποιοδήποτε διάστημα (α,β) και σύνολο τιμών το R.

#2

George73 έγραψε:Mε αφορμή το ότι η γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f(x)=\epsilon \phi x$ απεικονίζει το διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ στο R, συζητούσα με μαθητές το "παράδοξο" :
το διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το R. Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι να βρεθεί γνησίως μονότονη συνάρτηση
με πεδίο ορισμού ένα οποιοδήποτε διάστημα (α,β) και σύνολο τιμών το R.

Μπορούμε να παρακάμψουμε την εφαπτομένη και να χρησιμοποιήσουμε την πολύ γνωστή $x\rightarrow \frac{x}{1-\left| x\right| }$ που απεικονίζει το (-1,1)

στο $\mathbb{R}$ . Εύκολα τώρα μπορούμε να φτιάξουμε μία συνάρτηση που απεικονίζει το τυχόν (a,b)

στο

και συνθέτοντας βρίσκουμε την
$f\left( x\right) \allowbreak =\frac{a+b-2x}{\left| a+b-2x\right| -\left( b-a\right) }$
η οποία είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση που απεικονίζει το (a,b)

επί του $\mathbb{R}$ .
Μαυρογιάννης

Γιώργος Απόκης · #3

nsmavrogiannis έγραψε:
George73 έγραψε:Mε αφορμή το ότι η γνησίως αύξουσα συνάρτηση $f(x)=\epsilon \phi x$ απεικονίζει το διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ στο R, συζητούσα με μαθητές το "παράδοξο" :
το διάστημα $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)$ έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το R. Αυτό που έχει ενδιαφέρον είναι να βρεθεί γνησίως μονότονη συνάρτηση
με πεδίο ορισμού ένα οποιοδήποτε διάστημα (α,β) και σύνολο τιμών το R.
Μπορούμε να παρακάμψουμε την εφαπτομένη και να χρησιμοποιήσουμε την πολύ γνωστή $x\rightarrow \frac{x}{1-\left| x\right| }$ που απεικονίζει το στο $\mathbb{R}$ . Εύκολα τώρα μπορούμε να φτιάξουμε μία συνάρτηση που απεικονίζει το τυχόν στο και συνθέτοντας βρίσκουμε την
$f\left( x\right) \allowbreak =\frac{a+b-2x}{\left| a+b-2x\right| -\left( b-a\right) }$
η οποία είναι μία γνησίως αύξουσα συνάρτηση που απεικονίζει το επί του $\mathbb{R}$ .
Μαυρογιάννης

Ωραία κι απλή λύση! Η δική μου ιδέα ήταν πιο πολύπλοκη γιατί χρησιμοποίησα εφαπτομένη.
Ξεκινώντας από την εφx και με τη λογική του Nίκου, προκύπτει η συνάρτηση
$\displaystyle{f(x)=\epsilon \phi\left[\frac{\pi}{\beta-\alpha}x-\frac{\pi(\beta+\alpha)}{2(\beta-\alpha)} \right]}$

Συνάρτηση από το (α,β) στο R

Συνάρτηση από το (α,β) στο R

Re: Συνάρτηση από το (α,β) στο R

Re: Συνάρτηση από το (α,β) στο R

Μέλη σε σύνδεση