Παράγωγος και όριο

#1

Επαληθεύστε ή διαψεύστε τον παρακάτω ισχυρισμό:

Αν η

είναι παραγωγίσιμη στο $(a,+\infty)$ , $f^{\prime}(x) \le 0, \forall x \in (a, +\infty)$ και

$\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f(x)=b \in \mathbb{R}}$ , τότε $\displaystyle{\lim_{x \to +\infty}f^{\prime}(x)=0}$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

peter · #2

Έχω την εντύπωση πώς είναι λάθος.

Ένα κατασκευαστικό αντιπαράδειγμα είναι το ακόλουθο: Επιλέγουμε μια γνησίως φθίνουσα ακολουθία θετικών αριθμών (y_n)

με $y_n\to 0$ (π.χ. y_n=1/n

). Κατόπιν, ορίζουμε την εξής γνησίως αύξουσα ακολουθία (x_n)

με $x_{2n-1}=n$ και $x_{2n}=x_{2n-1}+(y_{2n-1}-y_{2n})$ . Τώρα ορίζουμε μια συνάρτηση $f:[1,\infty)\to \mathbb R^+$ με το ακόλουθο τρόπο: f(x_n)=y_n

και στα διαστήματα $[x_n,x_{n+1}]$ φθίνουσα και παραγωγίσιμη ώστε να είναι παραγωγίσιμη και στους κόμβους (x_n,y_n)

.

Αυτό γίνεται: Για κάθε διάστημα [a,b]

και κάθε $\gamma,\delta\in \mathbb R$ με $\gamma>\delta$ υπάρχει $f:[a,b]\to \mathbb R$ συνεχώς παραγωγίσιμη και γνησίως φθίνουσα με $f(a)=\gamma, \, f(b)=\delta$ και f{'}(a)=f{'}(b)=0

. Κολλάμε τέτοιες συναρτήσεις και τελειώσαμε.

Τώρα, στο παράδειγμα: ισχύει $\frac{f(x_{2n})-f(x_{2n-1})}{x_{2n}-x_{2n-1}}=-1$ άρα, από το ΘΜΤ υπάρχουν άπειρα s_n

με $s_n\to \infty$ ώστε $f{'}(s_n)=-1$ . Τέλος, λόγω κατασκευής είναι και $f(x)\to 0$ καθώς $x\to \infty$ .

Παράγωγος και όριο

Παράγωγος και όριο

Re: Παράγωγος και όριο

Μέλη σε σύνδεση