Δυστυχώς, επαληθεύομαι για άλλη μια φορά, σχετικά με όσα έλεγα ,πριν από χρόνια, δηλαδή ότι δεν υπάρχει περίπτωση να γίνουν εξετάσεις στα μαθηματικά χωρίς κανένα πρόβλημα και να πάνε όλα καλά και άψογα.
Α). Στα μαθηματικά Γενικής Παιδείας είχαμε το θέμα 1Γα,στο οποίο έδιναν μια σχέση, η οποία για άλλες συναρτήσεις ισχύει και για άλλες δεν ισχύει και ρωτούσαν αν είναι Σωστό ή Λάθος!!!
Β). Στα μαθηματικά Κατεύθυνσης, εκτός του ότι έστειλαν διευκρινίσεις για το 4ο θέμα, τα «μαργαριτάρια» υπάρχουν στις ενδεικτικές λύσεις. Γράφουν λοιπόν εκεί:
«ΘΕΜΑ 2Ο .Α.α. Έστω (x,y) ένα σημείο της ζητούμενης ευθείας. Τότε: x= 2λ+1, y=2λ-1 οπότε y=x-2». Αλλά, αν ένα σημείο (x,y) ανήκει σε μια ευθεία δεν είναι προφανές ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός λ με : x= 2λ+1 και y=2λ-1. Για παράδειγμα , αν το σημείο αυτό ανήκει στην ευθεία με εξίσωση:y=x. Το θέμα όμως είναι τι έχουν αποδείξει με αυτά που γράφουν. Έχουν αποδείξει ότι oι εικόνες των μιγαδικών αριθμών z ανήκουν στην ευθεία ε με εξίσωση: y=x-2. Όχι όμως και ότι κάθε σημείο της ευθείας ε είναι εικόνα ενός τέτοιου μιγαδικού αριθμού, αφού ούτε διατηρούν τις ισοδυναμίες, ούτε αποδεικνύουν ότι κάθε σημείο της ευθείας ε, που βρήκαν, είναι εικόνα ενός τέτοιου μιγαδικού αριθμού. Με άλλα λόγια, δεν έχουν αποδείξει ότι η ευθεία ε, που βρήκαν είναι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών αυτών αριθμών. Όμως, στο επόμενο ερώτημα 2ο Α.β., που θέλουν να βρουν το ελάχιστο του |z|, φέρνουν την κάθετο OK από το O στην ευθεία ε και λένε ότι ο μιγαδικός αριθμός (από τους z) που έχει εικόνα το σημείο Κ είναι ο ζητούμενος και τον βρίσκουν. Αλλά, από που εξασφαλίζεται ότι το σημείο αυτό Κ είναι εικόνα ενός τέτοιου μιγαδικού αριθμού z; Από πουθενά, σύμφωνα με αυτά που έχουν γράψει παραπάνω, αφού ούτε επαληθεύουν ότι το σημείο που βρήκανε είναι εικόνα ενός τέτοιου μιγαδικού αριθμού z.
•Σε ένα άλλο σημείο γράφουν: «...οπότε: για x>0
f΄(x)>f΄(0)=0…». Ας αποδώσουμε με λόγια αυτό που γράφουν μετά την άνω και κάτω τελεία: « για αν x>0, τότε f΄(x)>f΄(0)=0…». Έχει νόημα; Θα μου πείτε αυτό δεν είναι και τόσο σημαντικό. Μα, πρόκειται για επίσημα έγγραφο του υπουργείου παιδείας και μάλιστα προερχόμενο από την επιτροπή εξετάσεων, που θα έπρεπε να είναι όλα σωστά και τέλεια. «Εξ όνυχος τον Λέοντα»».•Ενδεικτικές λύσεις, το έχω γράψει και στο παρελθόν, δεν σημαίνει πρόχειρες, «τσαπατσούλικες» και πολύ χειρότερα ,λανθασμένες λύσεις. Ενδεικτικές λύσεις σημαίνει « ένας τρόπος λύσης» με όλη την σοβαρότητα, την σαφήνεια και την αυστηρότητα που απαιτούν τα μαθηματικά.
ΣΧΟΛΙΟ. Για να γίνω περισσότερο αντιληπτός, σχετικά με αυτά που γράφω για το θέμα 2Αβ, ας υποθέσουμε ότι θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς:
, όπου λ πραγματικός αριθμός διάφορος του 0.Όπως βρίσκουμε εύκολα, οι εικόνες τους ανήκουν στην ευθεία με εξίσωση:y=x-2.
Αν, τώρα, για την εύρεση της ελάχιστης δυνατής τιμής του |z|,ακολουθήσουμε το σκεπτικό των ενδεικτικών λύσεων, θα βρούμε και πάλι ως ελάχιστο του |z| το (ΟΚ) με Κ(1,-1). Αλλά, όπως βρίσκουμε εύκολα κανένας από τους δοσμένους μιγαδικούς αριθμούς z δεν έχει εικόνα το σημείο αυτό Κ!!!.
Υ.Γ. Αγαπητέ Βασίλη( Καλαμάτα). Στις ερωτήσεις «Σωστό –Λάθος» δεν μπορώ να πω ότι υπάρχει κάποιο λάθος. Οι διατυπώσεις όμως θα μπορούσαν να ήταν πολύ καλύτερες.
•Για τη γεωμετρική λύση στο θέμα 2Αβ, αν και όχι αυστηρή, δεν μπορώ να πω τίποτα, αφού το ίδιο το σχολικό βιβλίο κάνει τέτοιες λύσεις, δηλαδή που στηρίζονται στην Γεωμετρία. Η λύση που έχει κάνει ο φίλος μου ο Κώστας ο Σερίφης στο θέμα αυτό, χωρίς Γεωμετρία, δεν είναι ωραία; Αυστηρή, καθαρή και ξάστερη. Επίσης, η λύση που έκανε , ο μαθητής Paganini, χωρίς Γεωμετρία ,αν και λίγο μακροσκελής, είναι αυστηρή και καλή( Μπράβο παιδί μου. Εσύ, από αυτά που έχω γράψει, πήρες αμέσως το μήνυμα, σχετικά με την αυστηρότητα στα μαθηματικά. Μην απογοητευτείς αν διαπιστώσεις ότι μερικοί δεν πρόκειται να το πάρουν ποτέ).
{z_0} = 1 - i
ανήκει στην ευθεία y=x-2 με μια απλή αντικατάσταση.
{z_0} = 1 - i = \left( {2 \cdot 0 + 1} \right) - \left( {2 \cdot 0 - 1} \right)i
