Ερωτήσεις μαθητών

Α.Κυριακόπουλος · #1

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΤΩΝ
Tο Υπουργείο Παιδείας στο σύνδεσμο:
http://www.study4exams.gr/math_k/course/view.php?id=36
έχει αναρτήσει 25 ερωτήσεις με τις απαντήσεις τους. Έχω να παρατηρήσω τα εξής:
Ερώτηση 1.
Πια η σχέση του συνόλου C με το σύνολο R;
• Eτσι όπως έχει τεθεί η ερώτηση, η απάντηση είναι: «Η σχέση μεταξύ των δύο αυτών συνόλων είναι $R \subset C$ » και όχι αυτή που γράφει.
Ερώτηση 3.
Στο σύνολο R όπως γνωρίζουμε η παράσταση ${x^2} + {y^2} = 0,x,y \in R$ δεν παραγοντοποιείται. Το ίδιο συμβαίνει και στο σύνολο C;
• Δεν ξέρω για ποια παράσταση μιλάει, αφού το ${x^2} + {y^2} = 0$ δεν είναι μια παράσταση.
Ερώτηση 7
Αν μας δοθεί $a + bi \le c + di,$ όπου $a,b,c,d \in R$ τότε τι συμπέρασμα έχουμε από αυτή τη σχέση διάταξης;
Η απάντηση που δίνει είναι: « $a \le c$ και b=d=0 ή $a \ge c$ και b=d=0».
• Έτσι λοιπόν αναιρεί αυτά που λέει στις ερωτήσεις 6 και 15. Η απάντηση που δίνει δεν είναι σωστή, όπως έχει απαντήσει τεκμηριωμένα ο συνάδελφος Νίκος ΜαυρογιάννηςΕδώ.
Ερώτηση 11.
Ορίζεται τετραγωνική ρίζα μιγαδικού αριθμού;
Η απάντηση που δίνει είναι: «Ναι αλλά όχι μονοσήμαντα».
• Τι εννοεί; Στους πραγματικούς αριθμούς ορίζεται μονοσήμαντα; Για παράδειγμα το 4 έχει δύο τετραγωνικές ρίζες, τους αριθμούς 2 και -2. Μήπως όταν λέει τετραγωνική ρίζα, εννοεί το σύμβολο $\sqrt {}$ ;(που, αν είναι έτσι, κάνει λάθος, βλέπε Εδώ ). Μάλλον ούτε αυτό εννοεί από την απάντηση που δίνει στην ερώτηση 10. Τότε τι θέλει να πει;
Ερώτηση 22
Αν δίνεται η εξίσωση: $\alpha {z^2} + \beta z + \gamma = 0,\alpha \ne 0,\beta ,\gamma \in R,z \in C$ και ${z_1},{z_2}$ οι λύσεις αυτής, τότε που κινούνται οι εικόνες των μιγαδικών ${z_1},{z_2}$ πάνω στον μιγαδικό επίπεδο;
• Δίνεται η εξίσωση αυτή σημαίνει ότι δίνονται οι συντελεστές της α, β και γ. Επομένως τι μεταβάλλεται για να κινούνται οι εικόνες των ριζών; Μάλλον κάτι άλλο θέλει να πει.

#2

Ο Αντώνης έχει δίκιο σε αυτά που λέει.

Να προσθέσω πως η (7) αναιρεί όπως λέει ο Αντώνης τις (6) και (15) αλλά επίσης και τις (8) και (19).

Στην απάντηση της (15) λέει η σχέση $|z_1| < |z_2|, z_1,z_2 \in \mathbb{C}$ , ισχύει στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών.

Σταματάω εδώ.

#3

* Στην απάντηση της ερώτησης 2, γράφει ότι:
Στο σύνολο $\mathbb{C}$ δεχόμαστε ότι η εξίσωση x^2+1=0

, επιλύεται ως εξής: ...
Δεν νομίζω ότι υπάρχει κάτι το οποίο πρέπει να δεχθούμε, αφού η ισότητα i^2=-1

είναι απαραίτητη για να υπάρχουν μιγαδικοί ...

* Στην απάντηση της ερώτησης 13 στo (α) και συγκεκριμένα στα (iv), (v), (vi) αναφέρει κάποιες σχέχεις που δεν υπάρχουν ως θεωρία στο σχολικό βιβλίο. Ρητορικό ερώτημα: Άραγε μπορούν να χρησιμοποιηθούν χωρίς απόδειξη;;;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

* Στην απάντηση της ερώτησης 13 στo (β) και συγκεκριμένα στα (iv), (v), (vi) όπως προηγουμένως ...

killbill · #4

Ψάχνοντας να βρω που να ποστάρω το παρακάτω, ανακάλυψα αυτό το θέμα, νομίζοντας ότι ο τίτλος "ερωτήσεις μαθητών" θα αναφέρεται σε ερωτήσεις που κατα καιρούς μας κάνουν οι μαθητές και μας αιφνιδιάζουν είτε γιατί είναι πρωτότυπες, είτε πολυ χαζες!!, αλλά όπως και νά έχει είναι ερωτήσεις που δεν μας είχαν περάσει ποτε από το μυαλό ως καθηγητές.
Παρόλο που παραπάνω ετέθησαν ερωτήσεις για μαθητές, εγώ θα παραθέσω μια ερώτηση από μαθητή που με αιφνιδίασε!

Ως γνωστόν οι μιγαδικοί παριστάνονται ως σημεία στο επίπεδο και μπορούμε να τους παραστήσουμε και με το αντίστοιχο διάνυσμα (διάνυσμα θέσης).
Μπορούμε έτσι να κάνουμε πρόσθεση, αφαίρεση πολλαπλασιασμό πραγματικού αριθμού με μιγαδικό, κατά τα γνωστά όπως με τις πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.

Ρωτάει τώρα ο μαθητής:
Τι γίνεται όμως στην περίπτωση του πολλαπλασιασμού δύο μιγαδικών; Τι νόημα έχει το γινόμενο μεταξύ δύο μιγαδικών; Ποιά η φυσική του σημασία; Και γιατί αφού μέχρι τώρα τον μιγαδικό που τον παρίστανες σαν διάνυσμα, το γινόμενό τους δεν μου το ορίζεις όπως το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων;
Παρατηρώ (λέει ο μαθητής) ότι το γινόμενο δύο μιγαδικών μπορεί να είναι παλι μιγαδικός και άρα πάλι διάνυσμα!!! ενώ το εσωτερικό γινόμενο δύο διανυσμάτων μου έμαθες ότι είναι πάντα πραγματικός αριθμός
Γιατί μπορείς να μου προσθέσεις ή να μου αφαιρέσεις δύο μιγαδικούς ή να πολλαπλασιάζεις αριθμό με μιγαδικό σύμφωνα με τη λογική των διανυσμάτων, αλλά στον πολλαπλασιασμό μου λες κατι άλλο;

Τι απαντάμε;

nik21 · #5

Καλησπέρα. Απ'ότι κατάλαβα η ερώτηση έχει προκύψει από το λάθος συμπέρασμα του παιδιού ότι : μιγαδικός = διάνυσμα.

Πρέπει να καταλάβει πρώτα αυτή τη διαφορά. Το γεγονός ότι ένας μιγαδικός z = a + bi παριστάνεται και με τη διανυσματική ακτίνα του σημείου Μ(a, b), δεν σημαίνει ότι έχουμε ταύτιση εννοιών.

Ένα παράδειγμα για να καταλάβει τη διαφορά , είναι ότι προσθέτοντας δύο διαφορετικούς μιγαδικούς (και συγκεκριμένα συζυγείς) το άθροισμά τους θα προκύψει πραγματικός αριθμός. Κάτι τέτοιο όμως δεν ισχύει στα διανύσματα, αφού αν προσθέσω το (5, 2) και το (5, -2) το αποτέλεσμα δεν θα είναι αριθμός, αλλά το διάνυσμα (10, 0)

Επομένως, έχει σημασία το πώς ορίζουμε την έννοια της πρόσθεσης, του πολλαπλασιασμού κλπ κάθε φορά.
Το γινόμενο μιγαδικών ορίζεται διαφορετικά από το (εσωτερικό) γινόμενο διανυσμάτων.

killbill · #6

όσον αφορά την πρόσθεση, οι μιγαδικοί διαχειρίζονται σαν να ήταν διανύσματα. Εξάλλου στις σελίδες 88, 89 οι πράξεις μεταξύ μιγαδικών παρουσιάζονται ακριβώς όπως οι πράξεις μεταξύ διανυσμάτων.

Και στην περίπτωση της άθροισης δύο συζυγών είτε τους δεις σαν μιγαδικούς είτε σαν διανύσματα είναι το ίδιο. Στο παράδειγμα που ανέφερες, μπορεί ο μαθητής να πει ότι: $Z_{1}+Z_{2}= 10=10 + 0i$ άρα έχουμε το διάνυσμα (10, 0)

.
Όπως μπορεί να εφαρμόσει και την μέθοδο του παραλληλογράμμου, όπου θα πάρει το διάνυσμα (10, 0)

δηλαδή τον μιγαδικό z=10

ή καλύτερα z=10+0i

.

Αυτό που προσπαθώ να πω, είναι ότι όσον αφορά την πρόσθεση και την αφαίρεση υπάρχει μια αντιστοιχία μεταξύ μιγαδικών και διανυσμάτων. Είτε το βλέπεις σαν διάνυσμα είτε σαν μιγαδικούς (αλγεβρικά δηλαδή προσθέτω πραγματικό με πραγματικό μέρος και φανταστικό με φανταστικό) είναι το ίδιο. Τα ίδια αποτελέσματα παίρνεις (ακόμα και στην άθροιση των δύο συζυγών το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αφού και σαν διάνυσμα να τους δεις θα πάρεις τον αριθμό 10 δηλαδή το διάνυσμα (10, 0))

.

Στον πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικών είναι το μπέρδεμα. Εδω δεν μπορούμε να αντιστοιχήσουμε την λογική των διανυσμάτων, και ο μαθητής αναρωτιέται το γιατί....

#7

Δεν είναι καθόλου μπέρδεμα αρκεί κάποιος να ξέρει πως μιλάμε για διανυσματικούς χώρους και σώματα.
'Αλλη η δομή κατασκευής του ενός και άλλη του άλλου.
Άλλες ιδιότητες ικανοποιούν τα στοιχεία του ενός,άλλες του άλλου.

killbill · #8

αυτό όμως δεν μπορείς να το δώσεις σαν απάντηση στον μαθητή που ξαφνικά ενώ είχε συνδυάσει στη σκέψη του στους μιγαδικούς να εφαρμόζει αυτά που ήξερε στα διανύσματα, μόλις συναντήσει τον πολλαπλασιασμό να μην ισχύουν αυτά που ήξερε....

#9

Οκ!
Έχοντας όμως ο διδάσκων αυτό υπ'όψη του μπορεί να πείσει τους μαθητές του.
Το σχολικό βιβλίο μιλάει για αντιστοιχία και όχι ταύτιση εξ'άλλου.

nik21 · #10

Όπως σημείωσα και πριν, είναι θέμα ορισμού.
Εξήγησέ του ότι το εσωτερικό γινόμενο είναι ένας από τους τρόπους εφαρμογής του πολλαπλασιασμού στα διανύσματα.
Εκτός από αυτόν υπάρχουν και άλλοι, όπως:
1) το εξωτερικό γινόμενο (το οποίο είναι διάνυσμα σε αντίθεση με το εσωτερικό)
2) και ο πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα

Καθένας από αυτούς έχει τις ιδιότητές του.

Έτσι και ο πολλαπλασιασμός μιγαδικών. Το βασικότερο είναι να καταλάβει τη διάκριση των εννοιών διάνυσμα-μιγαδικός

Ερωτήσεις μαθητών

Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Re: Ερωτήσεις μαθητών

Μέλη σε σύνδεση