Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

#141

Μας μένει λοιπόν ακόμα η Ασκηση 70και η Ασκηση 61

Από τις επόμενες δύο ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Γ Γυμνασίου και η άλλη στον διαγωνισμό Αρχιμήδης, για μικρούς

ΑΣΚΗΣΗ 71:
Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο διαιρείται σε 4 μικρότερα ορθογώνια με δύο ευθείες παράλληλες προς τις πλευρές του. Τα τρία από αυτά τα τέσσερα ορθογώνια έχουν εμβαδά 10,18 και 25 τετραγωνικές μονάδες. Να βρεθεί το εμβαδόν του τέταρτου ορθογωνίου.

ΑΣΚΗΣΗ 72:
Οι αριθμοί m,n

είναι ακέραιοι.

(α) Να βρεθούν τα ζεύγη (m,n)

που επαληθεύουν την εξίσωση $m^{3}-4mn^{2}=8n^{3}-2m^{2}n$

(β) Από τα ζεύγη που θα βρείτε να προσδιορίσετε εκείνα που επαληθεύουν την εξίσωση $m+n^{2}=3$

Marios V. · #142

εδώ κάποτε υπήρχε μια λάθος λύση.

άσκηση 73
να εξεταστεί καταπόσο ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να έχει την ρίζα του στους ρητούς αλλά όχι και στους ακέραιους αριθμούς.
(είναι διάσημο πρόβλημα, οπότε μάλλον πολλοί θα το ξέρετε)

#143

Φερμά_96 έγραψε:για την 72.

γράφεται $m^{3}-12mn^{2}+6m^{2}n-8n^{3}=4m^{2}n-8mn^{2}$
με παραγοντ.: $(m-2n)^{3}=4mn(m-2n)$
οπότε, ή ,
ή $(m-2n)^{2}=4mn$
έχουμε $m^{2}-8mn+4n^{2}=0$
δια έχουμε $(\frac{m}{n})^{2}-8\frac{m}{n}+4=0$
πρέπει $\frac{m}{n}$ ρητός, οπότε η διακρίνουσα πρέπει να είναι τετράγωνο ρητού.
, και άρα η $m^{2}-8mn+4n^{2}=0$ δεν έχει λύσεις.
Οπότε ισχύει για .
Με αντικατάσταση στην δεύτερη βρίσκουμε ως λύσεις τις , και , .
έχω κάπου λάθος;

το γιατί η διακρίνουσα () δεν είναι τετράγωνο ρητού το αφήνω ως:

άσκηση 73
να εξεταστεί καταπόσο ένας ακέραιος αριθμός, μπορεί να έχει την ρίζα του στους ρητούς αλλά όχι και στους ακέραιους αριθμούς.
(είναι διάσημο πρόβλημα, οπότε μάλλον πολλοί θα το ξέρετε)

Ρίξε μια ματιά στις πράξεις της άσκησης 72. Η παραγοντοποίηση γίνεται πιο απλά

spiros filippas · #144

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 72:
Οι αριθμοί είναι ακέραιοι.

(α) Να βρεθούν τα ζεύγη που επαληθεύουν την εξίσωση $m^{3}-4mn^{2}=8n^{3}-2m^{2}n$

(β) Από τα ζεύγη που θα βρείτε να προσδιορίσετε εκείνα που επαληθεύουν την εξίσωση $m+n^{2}=3$

Είναι:
(a) $m^3-4mn^2=8n^3-2m^2n\Leftrightarrow m^3-8n^3+2m^2n-4mn^2=0\Leftrightarrow$ $(m-2n)(m^2+2mn+4n^2)+2mn(m-2n)=0\Leftrightarrow (m-2n)(m+2n)^2=0$

Aρα αναγκαστικά είναι: $m=2n \quad \acute \eta \quad m=-2n$ .

(b) Αντικαθιστώνας στην 2η εξίσωση βρίσκουμε οτί για $m=2n \rightarrow (m,n)=(2,1) \ \eta \ (-6,-3)$

καί γιά $m=-2n \rightarrow (m,n)=(2,-1) \ \eta \ (-6,3).$

Marios V. · #145

κ. Δημήτρη, τώρα είδα το σχόλιο σου.
Πραγματικά, μερικές φορές είμαι πολύ χαζός.

KARKAR · #146

Υποθέτω ότι την

, την έχουν λύσει οι μικρότεροι φίλοι μας , αλλά έχουν δυσκολία στο σχήμα .

Έχω λοιπόν xz=10

και

. Διαιρώ κατά μέλη (όλοι θετικοί !) και παίρνω : $\displaystyle\frac{xz}{yz}=\frac{10}{18}\Leftrightarrow x=\frac{5}{9}y$

Ομοίως : xz=10

και

$\displaystyle\Leftrightarrow z=\frac{2}{5}t$

Συνεπώς έχω : $\displaystyle xy=10\Leftrightarrow\frac{5}{9}y\frac{2}{5}t=10\Leftrightarrow \frac{2}{9}yt=10\Leftrightarrow yt=10{\cdot}\frac{9}{2}\Leftrightarrow yt=45=(?)!$

Με παρόμοιο τρόπο μπορούμε να δούμε και την άλλη περίπτωση , δηλαδή όταν το

και το

εναλλαγούν.

Τότε θα βρούμε $\displaystyle ?=xt=\frac{125}{9}$ .Υπάρχει άλλη περίπτωση ;

spiros filippas · #147

Γιά την 71

Βασιζόμενος στο παραπάνω σχήμα έχω:

tx=25~~(1)

καί θέλουμε το

.

Πολλαπλασιάζοντας τις (1),(2),(3) κατά μέλη έχουμε:

$ty(xz)^2=25\times 10\times 18\Leftrightarrow ty=\frac{25\times 10\times18 }{(xz)^2}=\frac{25\times 10\times 18}{10^2}=45$

sokratis lyras · #148

Θα πρότεινα σιγά σιγά,μιας και τελείωσαν οι εξετάσεις,η δυσκολία των ασκήσεων να αυξάνεται.

ΑΣΚΗΣΗ 74
Να λυθεί το σύστημα:
x^4+x^2y^2+y^4=91

Karanus · #149

Γεια σας
Με αφορμή το τελευταίο σχόλιο θα ήθελα να τοποθετηθώ και να δώσω και την δική μου άποψη.
Παρακολουθώ το συγκεκριμένο θέμα από την πρώτη μέρα που ξεκίνησε και με αρκετούς από εσάς έχω ανταλλάξει και π.μ. Βλέποντας ότι τον κύριο όγκο των ασκήσεων έχουν λύσει μέχρι τώρα δύο τρία αγόρια και μία δύο κοπέλες και μπράβο τους γι αυτό , θα πρότεινα το επίπεδο των ασκήσεων να μείνει περίπου στο επίπεδο που είναι σήμερα ,τουλάχιστον για κάποιο χρονικό διάστημα ,ώστε να μπορέσουν και άλλοι μαθητές να μην φοβηθούν και να συμμετέχουν , όπως άλλωστε ήταν και η αρχική ιδέα του κ.Δημήτρη , ο οποίος έστησε με πολύ μεράκι (πολλά συγχαρητήρια) αυτό το θέμα.
Εάν τα θέματα δυσκολέψουν χωρίς να αυξηθεί η συμμετοχή ,η χωρίς να εμπεδωθούν κάποια πράγματα , δεν νομίζω ότι είναι το ζητούμενο. Με χαρά είδα χθες και καινούργιες συμμετοχές (στο θέμα για τις ανισότητες) και σίγουρα όλοι μας περιμένουμε κι’ άλλες. Αυτούς όλους λοιπόν δεν πρέπει να τους αποθαρρύνουμε ,αντίθετα πρέπει να τους έχουμε (έχετε) μαζί μας (σας).
Θα σας έλεγα κάτι ακόμα ,από την αθλητική μου εμπειρία ,εάν θέλετε το κρατάτε , εάν θέλετε το πετάτε, « οι πρώτοι υπάρχουν πάντα, επειδή υπάρχουν και οι πέμπτοι και οι δέκατοι και οι τριακοστοί».
Συγνώμη αν σας κούρασα βραδιάτικα.

#150

Άλυτες έχουν μείνει οι σκήσεις 70,73 και 74 καθώς και η 61 (που παρουσιάζει κάποια δυσκολία, οπότε αν μπορεί κάποιος ας την λύσει, αλλιώς θα λυθεί από τον Μπάμπη που την πρότεινε)

(Την άσκηση 74 κάποιο από τα μέλη την έλυσε, σωστά από ότι είδα, αλλά βλέπω ότι έχει αποσυρθεί. Υπήρχε κάποιο πρόβλημα στην λύση που δεν το πρόσεξα;)

Από τις δύο επόμενες ασκήσεις, η μία έχει τεθεί σε διαγωνισμό της ΕΜΕ για την Α Λυκείου (αντιμετωπίζεται όμως άνετα και από μαθητές Γυμνασίου) και η άλλη σε διαγωνισμό του "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" για τους μικρούς.

ΑΣΚΗΣΗ 75:
Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+x=\frac{42}{x^{2}+x+1}}$

ΑΣΚΗΣΗ 76:
Στον διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" της ΕΜΕ συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" (με ηλικία κάτω των 15 ετών) και στους "μεγάλους". Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" αποτελούν το 55% αυτών που συμμετέχουν. Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με τον λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".
Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών" κοριτσιών

S.E.Louridas · #151

Δημήτρη καλημέρα.
Aς μου επιτραπεί μία υπόδειξη γιά την ΑΣΚΗΣΗ 61 γιά να σχοληθούν οι μικροί μας φίλοι.
Αρκεί να ονομάσουμε Τ το σημείο τομής της ΒΜ με το ύψος ΑΔ και να αποδείξουμε οτι το Μ είναι έγγεντρο του τριγώνου ΑΤC (σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του).

S.E.Louridas

#152

S.E.Louridas έγραψε:Δημήτρη καλημέρα.
Aς μου επιτραπεί μία υπόδειξη γιά την ΑΣΚΗΣΗ 61 γιά να σχοληθούν οι μικροί μας φίλοι.
Αρκεί να ονομάσουμε Τ το σημείο τομής της ΒΜ με το ύψος ΑΔ και να αποδείξουμε οτι το Μ είναι έγγεντρο του τριγώνου ΑΤC (σημείο τομής των διχοτόμων των γωνιών του).

S.E.Louridas

Σωτήρη, ευχαριστούμε για την υπόδειξη. Τώρα είναι πράγματι εύκολο να αντιμετωπιστεί από τα ταλεντάκια μας.

S.E.Louridas · #153

sokratis lyras έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74
Να λυθεί το σύστημα:

Διαπιστώνουμε ότι: $x\neq y,x\neq -y.$
Οι εξισώσεις του συστήματος δίνουν αντίστοιχα $x^{6}-y^{6}=91\left(x^{2}-y^{2} \right),x^{3}+y^{3}=7\left(x+y \right).$
Αν διαιρέσουμε κατά μέλη οδηγούμαστε στην $x^{2}+y^{2}+xy=13$ που μαζί με την $x^{2}+y^{2}-xy=7$ μας οδηγούν στην λύση.

S.E.Louridas

spiros filippas · #154

sokratis lyras έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 74
Να λυθεί το σύστημα:

Οι 2 σχέσεις γράφονται:

(x^2+y^2)^2-(xy)^2=91~~(1)

. Διαιρώντας τις (1) κ (2) κατά μέλη καταλήγουμε όπως παραπάνω.

KARKAR · #155

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 61
Δίνεται ισοσκελές τρίγωνο όπου με $\angle B > 30^ \circ$ και σημείο στο εσωτερικό του , τέτοιο ώστε : $\angle MBC = 30$ και $\angle MAB = \frac {3}{4} \angle BAC$ .
Να αποδειχθεί ότι η γωνία είναι ίση με μοίρες.

spiros filippas · #156

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 76:
Στον διαγωνισμό "ΑΡΧΙΜΗΔΗΣ" της ΕΜΕ συμμετέχουν αγόρια και κορίτσια που χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στους "μικρούς" (με ηλικία κάτω των 15 ετών) και στους "μεγάλους". Τα αγόρια που λαμβάνουν μέρος στον φετινό "ΑΡΧΙΜΗΔΗ" αποτελούν το 55% αυτών που συμμετέχουν. Ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μεγάλων" αγοριών ισούται με τον λόγο του πλήθους των "μικρών" προς το πλήθος των "μεγάλων".
Να βρεθεί ο λόγος του πλήθους των "μικρών" αγοριών προς το πλήθος των "μικρών" κοριτσιών

Έστω: x το πλήθος των μεγάλων αγοριών
y των μεγάλων κοριτσιών
z των μικρών αγοριών
w των μικρών κοριτσιών, άρα ψάχνουμε το z/w

Οι 2 σχέσεις της υπόθεσης δίνουν :

$x+z=\frac{55}{100}(x+y+z+w)\Leftrightarrow \frac{45}{100}(x+z)=\frac{55}{100}(y+w)\Leftrightarrow ...\Leftrightarrow \frac{x+z}{y+w}=\frac{11}{9}~~(1)$

καί:

$\frac{z}{x}=\frac{z+w}{x+y}\Leftrightarrow\ xz+zy=xz+xw\Leftrightarrow\frac{z}{w}=\frac{x}{y}=\frac{x+z}{y+w}=\frac{11}{9}$ απο την (1)

stuart clark · #157

ΔΗΜΗΤΡΗΣ έγραψε:ΑΣΚΗΣΗ 75:
Να λυθεί η εξίσωση: $\displaystyle{x^{2}+x=\frac{42}{x^{2}+x+1}}$

$\displaystyle x^2+x = \frac{42}{x^2+x+1}$

ας x^2+x=t

$\displaystyle t=\frac{42}{t+1}\Leftrightarrow t^2+t-42=0\Leftrightarrow t=-7,6$

(i) για t=-7

$x^2+x=-7\Leftrightarrow x^2+x+7=0$ (Δεν πραγματική τιμή του

)

(ii) για $t=6\Leftrightarrow x^2+x-6=0\Leftrightarrow x = -3,2$

S.E.Louridas · #158

Ας μου επιτραπεί μία υπόδειξη για την ΑΣΚΗΣΗ 70, για να ασχοληθούν οι μικροί σε ηλικία αλλά μεγάλοι στα Μαθηματικά και όχι μόνο juniors.

Για να μην έχουμε συντελεστές μπροστά από τα x στους παράγοντες που μετέχουν μετασχηματίζουμε την εξίσωση στην ισοδύναμη της
$- 9\left( {x + \frac{4} {3}} \right)\left( {x + \frac{2} {3}} \right)\left( {x - \frac{1} {3}} \right)\left( {x - 1} \right) = 4\left( {x - 0} \right)\left( {x + \frac{1} {3}} \right),$

παρατηρώντας ότι:

$\frac{{\frac{4} {3} + \frac{2} {3} - \frac{1} {3} - 1 + 0 + \frac{1} {3}}} {6} = \frac{1} {6},$

οπότε επιχειρούμε τον μετασχηματισμό που ακολουθεί:

$x = y - \frac{1} {6} \Leftrightarrow y = x + \frac{1} {6},...,y_{1,2} = \pm \frac{5} {6},\;y_{3,4} = \pm \frac{{\sqrt {17} }} {6}...x_1 = \frac{2} {3},x_2 = - 1,x_{3,4} = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {17} }} {6}.$

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #159

ΑΣΚΗΣΗ 77:
Να συγκρίνετε τους αριθμούς

$\sqrt[3]{{3 + \sqrt[3]{3}}} + \sqrt[3]{{3 - \sqrt[3]{3}}},\quad 2\sqrt[3]{3},$
λαμβάνοντας σοβαρά υπ’ όψη ότι το εμφανισιακά μεγάλο δεν είναι πάντα και το μεγαλύτερο.

(*) Την καταβρίσκω ΝΑΙ με αυτά τα μικρά (αλλά Μεγάλα Συναδελφάκια)

S.E.Louridas

#160

Ας δώσω και εγώ μια υπόδειξη (άλλο τρόπο) για την άσκηση 70

Έχουμε ισοδύναμα:

$27\left(\frac{3x+4}{3} \right)\left(\frac{3x+2}{3} \right)\left(\frac{3x-1}{3} \right)(1-x)=4(3x^{2}+x)\Leftrightarrow (3x+4)(1-x)(3x+2)(3x-1)=4(3x^{2}+x)\Leftrightarrow -[(3x^{2}+x)-4][3(3x^{2}+x)-2]=4(3x^{2}+x)$

Τώρα θα ακολουθήσουμε μια συνήθη πρακτική σε τέτοιες ασκήσεις:

Θέτουμε $3x^{2}+x=y$ και η συνέχεια είναι απλή.

Μαθηματικοί διαγωνισμοί - Γυμνάσιο

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Re: Μαθηματικοί διαγωνισμοί

Μέλη σε σύνδεση