Σχέση εμβαδών

erxmer · #1

Στις πλευρές AΒ, ΒΓ, ΓΔ, ΔΑ τετραπλευρου ΑΒΓΔ θεωρούμε τα σημεία Ε,Ζ,Η,Θ ώστε

$\displaystyle{\frac{AE}{EB}=\frac{BZ}{Z\Gamma }=\frac{\Gamma H}{H\Delta }=\frac{\Theta \Delta }{\Theta A}=\frac{m}{n}}$

Δείξτε οτι $\displaystyle{E_{EZH\Theta }=\frac{m^2+n^2}{(m+n)^2}E_{AB\Gamma \Delta }}$ .

#2

Για τα τρίγωνα $\displaystyle{ \vartriangle {\rm B}{\rm E}{\rm Z},\vartriangle {\rm B}{\rm A}\Gamma }$ που έχουν μία γωνία (την $\displaystyle{ \hat {\rm B} }$ ) κοινή θα ισχύει ότι "ο λόγος των εμβαδών τους θα ισούται με το λόγο των γινομένων

των πλευρών που περιέχουν τη γωνία αυτή" δηλαδή :

$\displaystyle{ \frac{{\left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right)}} {{\left( {{\rm B}{\rm A}\Gamma } \right)}} = \frac{{{\rm E}{\rm B} \cdot {\rm B}{\rm Z}}} {{{\rm B}{\rm A} \cdot {\rm B}\Gamma }} = \frac{{{\rm E}{\rm B}}} {{{\rm B}{\rm A}}} \cdot \frac{{{\rm B}{\rm Z}}} {{{\rm B}\Gamma }} }$ $\displaystyle{ \mathop \Rightarrow \limits^{\frac{{{\rm A}{\rm E}}} {{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{m} {n} \to \frac{{{\rm A}{\rm E} + {\rm E}{\rm B}}} {{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{{m + n}} {n} \to \frac{{{\rm B}{\rm A}}} {{{\rm E}{\rm B}}} = \frac{{m + n}} {n} \to \frac{{{\rm E}{\rm B}}} {{{\rm B}{\rm A}}} = \frac{n} {{m + n}},\frac{{{\rm B}{\rm Z}}} {{{\rm Z}\Gamma }} = \frac{m} {n} \to \frac{{{\rm B}{\rm Z}}} {{{\rm B}{\rm Z} + {\rm Z}\Gamma }} = \frac{m} {{m + n}} \to \frac{{{\rm B}{\rm Z}}} {{{\rm B}\Gamma }} = \frac{m} {{m + n}}} }$ $\displaystyle{ \frac{{\left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right)}} {{\left( {{\rm B}{\rm A}\Gamma } \right)}} = \frac{{mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }} \Rightarrow \boxed{\left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right) = \frac{{mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }} \cdot \left( {{\rm B}{\rm A}\Gamma } \right)}:\left( 1 \right) }$

Ομοίως βρίσκουμε ότι $\displaystyle{ \boxed{\left( {\Delta {\rm H}\Theta } \right) = \frac{{mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }} \cdot \left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)}:\left( 2 \right) }$ . Με πρόσθεση των

$\displaystyle{ \left( 1 \right),\left( 2 \right) \Rightarrow \left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right) + \left( {\Delta {\rm H}\Theta } \right) = \frac{{mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left[ {\left( {{\rm B}{\rm A}\Gamma } \right) + \left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right)} \right]\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{\rm B}{\rm A}\Gamma } \right) + \left( {{\rm A}\Delta \Gamma } \right) = \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)} \boxed{\left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right) + \left( {\Delta {\rm H}\Theta } \right) = \frac{{mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}:\left( 3 \right) }$

Με όμοιο τρόπο βρίσκουμε … $\displaystyle{ \boxed{\left( {\Gamma {\rm Z}{\rm H}} \right) + \left( {{\rm A}{\rm E}\Theta } \right) = \frac{{mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)}:\left( 4 \right) }$ . Οπότε με πρόσθεση :

$\displaystyle{ \left( 3 \right) + \left( 4 \right) \Rightarrow \left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right) + \left( {\Delta {\rm H}\Theta } \right) + \left( {\Gamma {\rm Z}{\rm H}} \right) + \left( {{\rm A}{\rm E}\Theta } \right) = \frac{{2mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)\mathop \Rightarrow \limits^{\left( {{\rm B}{\rm E}{\rm Z}} \right) + \left( {\Delta {\rm H}\Theta } \right) + \left( {\Gamma {\rm Z}{\rm H}} \right) + \left( {{\rm A}{\rm E}\Theta } \right) = \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \left( {{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta } \right)} }$

$\displaystyle{ \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \left( {{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta } \right) = \frac{{2mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) \Rightarrow \left( {{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta } \right) = \left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) - \frac{{2mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) \Rightarrow }$

$\displaystyle{ \left( {{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta } \right) = \left[ {1 - \frac{{2mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}} \right]\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) = \frac{{\left( {m + n} \right)^2 - 2mn}} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right) \Rightarrow \ldots \boxed{\left( {{\rm E}{\rm Z}{\rm H}\Theta } \right) = \frac{{m^2 + n^2 }} {{\left( {m + n} \right)^2 }}\left( {{\rm A}{\rm B}\Gamma \Delta } \right)} }$

Στάθης

Σχέση εμβαδών

Σχέση εμβαδών

Re: Σχέση εμβαδών

Μέλη σε σύνδεση