Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

KARKAR · #1

Στο εσωτερικό γωνίας $\widehat{A}$ , βρίσκεται τμήμα

μήκους

, που σχηματίζει γωνίες $30^{o}$ και $45^{o}$ ,

με τις πλευρές της γωνίας . Κύκλος που διέρχεται από τα A , S

τέμνει τις πλευρές της γωνίας στα B , C

Βρείτε την ελάχιστη τιμή του (SBC)

#2

Το θέμα γενικεύεται για $\displaystyle{ \widehat{BAS} = \hat \phi ,\widehat{SAC} = \hat \omega ,AS = a }$ με $\displaystyle{ \hat \phi ,\hat \omega ,a }$ γνωστά. Έστω $\displaystyle{ \left( {O,R} \right) }$ ο κύκλος που διέρχεται από τα $\displaystyle{ A,S }$ τότε από το

εγγεγραμμένο τετράπλευρο $\displaystyle{ ABSC }$ θα είναι: $\displaystyle{ \widehat{SBC} = \widehat{SAC} = \hat \omega ,\widehat{SCB} = \widehat{SAB} = \hat \phi ,\widehat{BSC} = 180^0 - \left( {\hat \phi + \hat \omega } \right) }$ και από τον «ξεχασμένο» τύπο του εμβαδού τριγώνου

$\displaystyle{ \left( {E = 2R^2 \eta \mu {\rm A}\eta \mu {\rm B}\eta \mu \Gamma } \right) }$ θα έχουμε: $\displaystyle{ \left( {BSC} \right) = 2R^2 \eta \mu \omega \eta \mu \phi \eta \mu \left[ {180^0 - \left( {\phi + \omega } \right)} \right]\mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu \left[ {180^0 - \left( {\phi + \omega } \right)} \right] = \eta \mu \left( {\phi + \omega } \right)} \boxed{\left( {BSC} \right) = 2R^2 \eta \mu \omega \eta \mu \phi \eta \mu \left( {\phi + \omega } \right)} }$

Οπότε με σταθερά $\displaystyle{ \hat \phi ,\hat \omega }$ το ελάχιστο του $\displaystyle{ \left( {BSC} \right) }$ θα προκύψει για ελάχιστο $\displaystyle{ R }$ . Όμως για τα σημεία $\displaystyle{ O,A,S }$ ισχύει: $\displaystyle{ OA + OS \geqslant AS\mathop \Rightarrow \limits^{AS = a} 2R \geqslant a \Rightarrow \boxed{R \geqslant \frac{a} {2}} }$

με την ισότητα να προκύψει αν $\displaystyle{ O,A,S }$ είναι συνευθειακά δηλαδή ο κύκλος έχει διάμετρο την $\displaystyle{ AS }$ οπότε $\displaystyle{ \boxed{ \ldots \min \left( {BSC} \right) = \frac{a} {2}^2 \eta \mu \omega \eta \mu \phi \eta \mu \left( {\phi + \omega } \right)} }$

Για το συγκεκριμένο πρόβλημα που έχει τεθεί (σαν εφαρμογή) είναι $\displaystyle{ \min \left( {BSC} \right) = \frac{4} {2}^2 \eta \mu 45^0 \eta \mu 30^0 \eta \mu 75^0 \mathop \Rightarrow \limits^{\eta \mu 45^0 = \frac{{\sqrt 2 }} {2},\eta \mu 30^0 = \frac{1} {2},\eta \mu 75^0 = \ldots \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 3 } }} {2}} \ldots \boxed{\min \left( {BSC} \right) = \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } } }$

Στάθης

KARKAR · #3

Έτσι ακριβώς !

Αλλά βρήκα : $min(BSC)=1+\sqrt{3}$

!

#4

KARKAR έγραψε:Έτσι ακριβώς !

Αλλά βρήκα : $min(BSC)=1+\sqrt{3}$ !

Μάλλον το απόγευμα θα κάνω μια μικρή επανάληψη στις βασικές ταυτότητες $\displaystyle{ \left( {\alpha \pm \beta } \right)^2 = \alpha ^2 \pm 2\alpha \beta + \beta ^2 }$

Ιστοσελίδα · #5

: Ελαχιστοποίηση-Εμβαδού.png (49.54 KiB) Προβλήθηκε 320 φορές

Στάθη και Θανάση καλησπέρα.

Έστω

το περίκεντρο του BSC

και $OO' \bot AS$ . Από το εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABSC

έχουμε $B\widehat SC = {105^ \circ }$ και από τις γωνίες $B\widehat AS = {30^ \circ },\,S\widehat AC = {45^ \circ }$ το τρίγωνο OBS

είναι ισόπλευρο και το OSC

ορθογώνιο και ισοσκελές.

Από τον τύπο $\left( {BSC} \right) = \displaystyle\frac{{BS \cdot SC \cdot \eta \mu {{105}^ \circ }}}{2}$ θα έχουμε την ελάχιστη τιμή για ελάχιστο BS = R

και για ελάχιστο $SC = R\sqrt 2$ .

Αυτό επιτυγχάνεται όταν η απόσταση OO'

γίνει μηδέν, δηλαδή όταν η χορδή AS = 4

γίνει διάμετρος. Τότε: $BS = 2,\,SC = 2\sqrt 2$ και εφόσον $\eta \mu {105^ \circ } = \sigma \upsilon \nu {15^ \circ } = \displaystyle\frac{{\sqrt 2 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{4}$ θα έχουμε ${\left( {BSC} \right)_{Min}} = 1 + \sqrt 3 \,\tau .\mu .$

Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

Re: Ελαχιστοποίηση Εμβαδού

Μέλη σε σύνδεση