Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Μπουμπουλής Κώστας · #1

Ένα απλό αλλά ωραίο και ενδιαφέρον (νομίζω) θέμα, που με είχε απασχολήσει πριν χρόνια με αφορμή μια άσκηση του σχολικού βιβλίου και το θυμήθηκα τελευταία:
" Η γραφική παράσταση της τριτοβάθμιας πολυωνυμικής συνάρτησης έχει κέντρο συμμετρίας. "
Σας το παραδίδω...

tdsotm111 · #2

http://mzone.mweb.co.za/residents/profmd/cubics.pdf

#3

Και εδώ: viewtopic.php?f=53&t=14234

Μπουμπουλής Κώστας · #4

Ευχαριστώ τους tdsotm111 και Demetres για τις πληροφορίες και το ενδιαφέρον. Δεν είχα δει πουθενά κάτι σχετικό μέχρι τώρα. Η άσκηση του σχ. βιβλίου που μου είχε δώσει την αφορμή να ασχοληθώ με το θέμα αυτό, ζητούσε να αποδείξουμε ότι τα σημεία των ακροτάτων και το σημείο καμπής είναι συνευθειακά. Με είχε εντυπωσιάσει ότι τελικά δεν είναι μόνο συνευθειακά αλλά συμμετρικά. Όποιοι δεν γνωρίζουν το θέμα θα τους ζητούσα να επισκεφθούν τη διεύθυνση που παραπέμπει ο Demetres. Το δυναμικό σχήμα που παρουσιάζει τη συμμετρία είναι εντυπωσιακό!

#5

Μιάς και ούτε στο θέμα viewtopic.php?f=53&t=14234 δόθηκε απάντηση γράφω δύο λέξεις
Πράγματι όπως ήδη επισημάνθηκε η $f\left( x\right) =ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ παρουσιάζει συμμετρία ως προς το σημείο $M\left( -\frac{b}{3a},f\left( -\frac{b}{3a}\right) \right)$ . Αυτό αποδεικνύεται αν εξασφαλίσουμε πως το

είναι μέσο των σημείων $M_{1}\left( -\frac{b}{3a}-h,f\left( -\frac{b}{3a}-h\right) \right)$ , $M_{2}\left( -\frac{b}{3a}+h,f\left( -\frac{b}{3a}+h\right) \right)$ που σημαίνει πως πρέπει να εξασφαλίσουμε ότι

$\boxed{\left( -\frac{b}{3a}-h\right) +\left( -\frac{b}{3a}+h\right) =2\left( -\frac{b}{3a}\right)}$

$\boxed{f\left( -\frac{b}{3a}-h\right) +f\left( -\frac{b}{3a}+h\right) =2f\left( -\frac{b}{3a}\right)}$
H πρώτη ισότητα είναι προφανής.
Η δεύτερη χρειάζεται κάποια δουλειά:
Α' Τρόπος Με πράξεις. Αποτελεί μια ευκαιρία στην εφαρμογή των ταυτοτήτων. Μπορεί να διδαχθεί στ προκατρακτικά των συναρτήσεων της Γ' Λυκείου.
Β' Τρόπος Με λιγότερες πράξεις. Αν ονομάσουμε $g\left( h\right) =f\left( -\frac{b}{3a}-h\right) +f\left( -\frac{b}{3a}+h\right)$ βρίσκουμε πως $g^{\prime }\left( h\right) =f^{\prime }\left( -\frac{b}{3a}+h\right) -f^{\prime }\left( -\frac{b}{3a}-h\right)$ το οποίο είναι μηδέν. Αυτό διαπιστώνεται είτε με πράξεις (πιο λίγες από πριν) είτε με την παρατήρηση πως η παραβολή $f^{\prime }\left( x\right) =\allowbreak 3ax^{2}+2bx+c$ έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία $x=-\frac{b}{3a}$ . 'Αρα η

είναι σταθερή και δίνοντας την τιμή h=0

βρίσκουμε πως $g\left( h\right) =2f\left( -\frac{b}{3a}\right)$ που αποδεικνύει την δεύτερη σχέση.
Μαυρογιάννης

Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Re: Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Re: Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Re: Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Re: Η συμμετρία της τριτοβάθμιας

Μέλη σε σύνδεση