Υπάρχει το όριο;

#1

Έστω $f : [0,+\infty)\to\mathbb{R}$ παραγωγίσιμη και φραγμένη συνάρτηση για την οποία $f(x)f'(x)\ge\sin x ,$ για κάθε $x\geq 0.$
Να εξετάσετε αν υπάρχει το όριο $\lim_{x\to+\infty}f(x) .$

Τι συμβαίνει αν δεν υποθέσουμε ότι η

είναι φραγμένη;

#2

Για το πρώτο ερώτημα.
Θεωρώ τη συνάρτηση με τύπο:

$\displaystyle{ f(x) = 2\sin \frac{x}{2},x \ge 0 }$
η οποία προφανώς και ικανοποιεί την αρχική μου συνθήκη,είναι παραγωγίσιμη και φραγμένη.
Ας υποθέσω πως έχει όριο στο άπειρο,τότε για κάθε ακολουθία $\displaystyle{ (a_n ) }$ που τείνει στο άπειρο να ισχύει πως οι τιμές $\displaystyle{ f(a_n ) }$ να τείνουν στο ίδιο όριο.
Επιλεγοντας
$\displaystyle{ \begin{array}{l} a_n = 4n\pi \\ b_n = (4n + 1)\pi \\ \end{array} }$
βλέπω πως αυτό δεν ισχύει.
Συνεπώς το όριο δεν υπάρχει.
Τώρα για τη δεύτερη περίπτωση Θανάση θέλω μία διευκρίνιση.Λες να μην είναι φραγμένη αλλά μάλλον εννοείς άνω φραγμένη,σωστά;

#3

Το π΄ρωτο έχει συζητηθεί και εδώ viewtopic.php?f=61&t=12260

Υπάρχει το όριο;

Υπάρχει το όριο;

Re: Υπάρχει το όριο;

Re: Υπάρχει το όριο;

Μέλη σε σύνδεση