Ασκήσεις στο ρυθμό μεταβολής

Christiano · #1

Άσκηση 1. Έστω η συνάρτηση $f(x)=e^{x}$ :

(i) Nα βρεθεί το σημείο Α της $C_{f}$ στο οποίο η εφαπτόμενη διέρχεται από την αρχή των αξόνων

'Εστω Μ κινείται κατά μήκος της $C_{f}$ . Αν ο ρθυμός μεταβολής της τετμημένης a(t)

του Μ είναι a'(t)=a(t)

να βρεθούν:

(α) ο ρυθμός μεταβολής της τεταγμένης Μ την χρονική που το

διέρχεται από το

.

(β) το ρυθμό μεταβολής της απόστασης (OM)

από την αρχή των αξόνων, την χρονική στιγμή που περνά από το

..

Άσκηση 2. Ένα σημείο

κινείται στην γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x)=(x-2)^3

για $x \ge 2$ . H τετμημένη του

κινείται με σταθερό ρυθμό 1cm/sec

. Nα βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής της γωνίας που σχηματίζει η εφαπτομένη της $C_{f}$ στο

με τον άξονα x'x

τη στιγμή που αυτή είναι παράλληλη στην ευθεία με εξίσωση $\epsilon: 3x-y=2007$

#2

Άσκηση 1
Η συνάρτηση

είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο $\mathbb{R}$ με f'(x)=e^x

.

(i) Αν A(x_0,f(x_0))

είναι το σημείο επαφής,
η εφαπτομένη $\delta$ της C_f

στο σημείο αυτό έχει εξίσωση: $y-e^{x_0}=e^{x_0}(x-x_0)$ .

Όμως θέλουμε η $\delta$ να διέρχεται από την αρχή των αξόνων, οπότε το σημείο (0,0)

την επαληθεύει και ισχύει:
$0-e^{x_0}=e^{x_0}(0-x_0) \Leftrightarrow x_0=1$ .

Συνεπως έχουμε ότι A(1,e)

και η εφαπτομένη $\delta$ έχει εξίσωση y=ex

.

(ii) Έχουμε ότι $\displaystyle{M(x(t),y(t))=\left(a(t),e^{a(t)} \right )}$ , όπου x(t)

είναι παραγωσίσιμη συνάρτηση στο $[0,+\infty)$ .
Αυτό σημαίνει ότι και η y(t)

είναι παραγωσίσιμη συνάρτηση στο $[0,+\infty)$ ως σύνθεση των παραγωγίσιμων συναρτήσεων e^t,a(t)

.

Συνεπώς $\displaystyle{y'(t)=e^{a(t)}a'(t)}$ .

Έστω t_0

η χρονική στιγμή κατά την οποία το Μ περνά από το Α,
οπότε x(t_0)=a(t_0)=1

, $\displaystyle{y(t_0)=e^{a(t_0)}=e }$
και αφού a'(t)=a(t)

ισχύει και $\displaystyle{x'(t_0)=a'(t_0)=1}$ .

(α) Τότε: $\displaystyle{y'(t_0)=e^{a(t_0)}a'(t_0)=e \cdot 1 = e}$ μονάδες μήκους ανά μονάδα χρόνου.

(β) Η απόσταση ΟΜ δίνεται από τη συνάρτηση: $\displaystyle{f(t)=\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}$ ,
η οποία είναι παραγωσίσιμη συνάρτηση στο $[0,+\infty)$ ως σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων.

Έχουμε ότι: $\displaystyle{f'(t)=\frac{x(t)x'(t)+y(t)y'(t)}{\sqrt{x^2(t)+y^2(t)}}$ ,

οπότε $\displaystyle{f'(t_0)=\frac{x(t_0)x'(t_0)+y(t_0)y'(t_0)}{\sqrt{x^2(t_0)+y^2(t_0)}}=\frac{1 \cdot 1+e \cdot e}{\sqrt{1^2+e^2}}=\sqrt{1+e^2}}$ μονάδες μήκους ανά μονάδα χρόνου.

#3

Άσκηση 2

Έχουμε ότι: $\displaystyle{M(x(t), y(t))}$ σημείο της C_f

όπου $\displaystyle{x'(t)=1cm/sec}$ και $\displaystyle{y(t)=f(t)=(x(t)-2)^3}$ .

Aφού η

είναι παραγωγίσιμη στο $\displaystyle{[0,+\infty)}$ (σύνθεση παραγωγίσιμων συναρτήσεων) έχουμε $\displaystyle{f'(t)=3(x(t)-2)^2x'(t)}$ ,

Συνεπώς από την υπόθεση βρίσκουμε ότι:

.

Έστω $\omega (t)$ η γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της C_f

στο σημείο

με τον άξονα x'x

,

οπότε ισχύει $\epsilon \phi \omega(t)=3(x(t)-2)^2 (I)$ και παραγωγίζοντας βρίσκουμε

$\frac{\omega'(t)}{\sigma \upsilon \nu ^2\omega (t)}=6(x(t)-2)x'(t)$ ή

$\omega'(t)=6(x(t)-2)\sigma \upsilon \nu ^2\omega (t) (II)$ .

Την χρονική στιγμή t_0

έχουμε ότι $f'(t_0)=3 \Leftrightarrow 3(x(t_0)-2)^2= 3 \Leftrightarrow x(t_0)=3 cm$ ,
αφού $x(t) \geq 2$ και από την (Ι) προκύπτει: $\epsilon \phi \omega(t_0)=3(x(t_0)-2)^2=3(3-2)^2=3 rad$

Επίσης έχουμε ότι:

$\displaystyle{\sigma \upsilon \nu ^2\omega (t_0)=\frac{1}{1+\varepsilon \phi ^2(t_0)}=\frac{1}{1+3^2}=\frac{1}{10}}$ .

Συνεπώς από την (ΙΙ) έχουμε ότι:
$\displaystyle{\omega'(t_0)=6(x(t_0)-2)\sigma \upsilon \nu ^2\omega (t_0)=6(3-2)\frac{1}{10}=\frac{3}{5} rad/sec}$ .

Ασκήσεις στο ρυθμό μεταβολής

Ασκήσεις στο ρυθμό μεταβολής

Re: Ασκήσεις στο ρυθμό μεταβολής

Re: Ασκήσεις στο ρυθμό μεταβολής

Μέλη σε σύνδεση