Συναρτησιακή στους φυσικούς

#1

Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{N}_{0}\to\mathbb{N}_{0}$ τέτοιες ώστε f(0)=0

και $\displaystyle{ f(x^{2}-y^{2})=f(x)f(y) ,}$ για κάθε $x,y\in\mathbb{N}_{0}$ με x>y .

Pan African Olympiad 2009
http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=435247

AlexandrosG · #2

Αυτή η συναρτησιακή έχει πρωτότυπο σύνολο λύσεων. Με επιφύλαξη:

Λήμμα

Κάθε $\displaystyle{n \neq2\mod 4}$ γράφεται ως $\displaystyle{x^2-y^2}$ με $\displaystyle{x \neq 2 \mod 4}$ ή $\displaystyle{y \neq 2 \mod 4}$ και $\displaystyle{n>x}$ .

Απόδειξη

$\displaystyle{n=\Big( \frac{n+1}{2} \Big)^2-\Big( \frac{n-1}{2} \Big)^2}$ αν $\displaystyle{n}$ περιττός.

$\displaystyle{n=\Big( \frac{m+2}{2} \Big)^2-\Big( \frac{m-2}{2} \Big)^2}$ αν $\displaystyle{n=2m}$ άρτιος.

Εύκολα δεν γίνεται και $\displaystyle{x \equiv 2 \mod 4}$ και $\displaystyle{y \equiv 2 \mod 4}$ . Επίσης $\displaystyle{n>x>y}$ .

Πρόταση

$\displaystyle{f(n)=0}$ για κάθε $\displaystyle{n \neq 2 \mod 4}$ .

Απόδειξη

Επαγωγικά αφού πρώτα δούμε ότι $\displaystyle{f(0)=0,f(1)=0}$ .

$\displaystyle{f(n)=f(x^2-y^2)=f(x)f(y)=0}$

από το λήμμα και επειδή για το $\displaystyle{x}$ ή το $\displaystyle{y}$ ισχύει η επαγωγική υπόθεση.

Τώρα γενικά $\displaystyle{x^2-y^2 \neq 2 \mod 4}$ . Άρα $\displaystyle{f(x^2-y^2)=0}$ .

Οπότε $\displaystyle{f(x)f(y)=0}$ για κάθε $\displaystyle{x>y}$ .

Άρα αν $\displaystyle{f(m)\neq 0}$ για κάποιο $\displaystyle{m \equiv 2 \mod 4}$ τότε $\displaystyle{f(x)=0}$ για όλα τα $\displaystyle{x \in \mathbb{N}_0}$ με $\displaystyle{x \neq z}$ .

Άρα λύσεις είναι όλες οι συναρτήσεις που είναι παντού $\displaystyle{0}$ εκτός ίσως από ένα σημείο $\displaystyle{m}$ με $\displaystyle{m \equiv 2 \mod 4}$ που σε αυτό μπορούν να πάρουν όποιαδήποτε τιμή.

Συναρτησιακή στους φυσικούς

Συναρτησιακή στους φυσικούς

Re: Συναρτησιακή στους φυσικούς

Μέλη σε σύνδεση