Εξ επαφών

KARKAR · #1

Οι κύκλοι $(O , \rho)$ και (K , R)

εφάπτονται εξωτερικά . Σημείο

κινείται επί του κύκλου $(O , \rho)$ .

Ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , δημιουργείται από την εφαπτομένη $\varepsilon$ , στο

,

και από εφαπτομένη του (K , R)

, κάθετη προς την $\varepsilon$ .

1) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του $\displaystyle ABC$ .

2) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο , του μέσου

, της υποτείνουσας του .

S.E.Louridas · #2

Επιτρέψτε μου μία διαπραγματευτική προσέγγιση για την άσκηση αυτή.

♦ Για το πρώτο ερώτημα από το πάνω σχήμα κατανοούμε ότι η ύπαρξη του μέγιστου εμβαδού

είναι γεγονός, λόγω του ότι παίρνει τις τιμές $\rho ^2 + 2\rho R,R^2 + 2\rho R$ και η συνάρτηση $E:\left[ {0,R + \rho } \right] \to \mathbb{R},y = E\left( x \right),x = DK$ είναι συνεχής. Δυστυχώς όμως δεν μπόρεσα μέχρι την στιγμή αυτή να κατασκευάσω (εννοείται με βάση κανόνα και διαβήτη) την θέση του σχήματος που παρουσιάζεται αυτό.
♦ Για το δεύτερο ερώτημα (από το κάτω σχήμα) έχουμε οτι ο γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος $\left( {N,\frac{{\sqrt {R^2 + \rho ^2 } }} {2}} \right).$

S.E.Louridas

#3

S.E.Louridas έγραψε:Επιτρέψτε μου μία διαπραγματευτική προσέγγιση για την άσκηση αυτή.

♦ Για το πρώτο ερώτημα από το πάνω σχήμα κατανοούμε ότι η ύπαρξη του μέγιστου εμβαδού είναι γεγονός, λόγω του ότι παίρνει τις τιμές $\rho ^2 + 2\rho R,R^2 + 2\rho R$ και η συνάρτηση $E:\left[ {0,R + \rho } \right] \to \mathbb{R},y = E\left( x \right),x = DK$ είναι συνεχής. Δυστυχώς όμως δεν μπόρεσα μέχρι την στιγμή αυτή να κατασκευάσω (εννοείται με βάση κανόνα και διαβήτη) την θέση του σχήματος που παρουσιάζεται αυτό.
♦ Για το δεύτερο ερώτημα (από το κάτω σχήμα) έχουμε οτι ο γεωμετρικός τόπος είναι ο κύκλος $\left( {N,\frac{{\sqrt {R^2 + \rho ^2 } }} {2}} \right).$

S.E.Louridas

Σωτήρη, η κατασκευή μου φαίνεται αρκετά δύσκολη. Αν είναι x, y

οι κάθετες πλευρές του τριγώνου, του οποίου ζητάμε το εμβαδό, τότε θέλουμε το μέγιστο της παράστασης xy/2

και από το ορθογώνιο τρίγωνο OKD

έχουμε

Εδώ, αν έχω δεί καλά τα πράγματα, οι πολλαπλασιαστές Lagrange οδηγούν σε πρόβλημα τετάρτου βαθμού...

S.E.Louridas · #4

Κώστα καλή μέρα.
Είναι ακριβώς έτσι, απλά κρατώ μία επιφύλαξη για πιθανό λάθος στις πράξεις. Δηλαδή δεν είναι κατασκευάσιμη η θέση του Μεγίστου με βάση την γνωστή πρόταση Abel πάνω στη θεωρία Galois.Αρα ύπαρξη Ναί κατασκευή με κανόνα και διαβήτη Οχι, με προσοχή OTAN καταλήγουμε σε ΠΛΗΡΗ πολυωνυμική εξίσωση , βαθμού άνω του 2ου.

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #5

Πάντως αν θεωρούσαμε τον κύκλο

εκφυλισμένο στο σημείο

τότε θα ζητούσαμε το μέγιστο εμβαδό
$E\left( x \right) = \frac{1} {2}\left( {x + R} \right)\sqrt {R^2 - x^2 } ,\;0 \leqslant x \leqslant R\;\left( {\dot o\tau \alpha \nu \;x = DK} \right).$
Αυτό επιτυγχάνεται (παραγώγιση κ.τ.λ.) όταν
$x = \frac{R} {2} \Rightarrow y = \frac{{R\sqrt 3 }} {2}.$

$(*)\;DL = \frac{R} {2},\;DB{'} = \frac{{R\sqrt 3 }} {2},\;LH = R.$

(**) Στην ειδική αυτή περίπτωση όπου το σχήμα μας πάει στην θέση A{'}B{'}DH

όπου επιτυγχάνεται το μέγιστο εμβαδόν, εύκολα αποδεικνύετε (αυτό που πολύ σωστά επεσήμανε σαν ενδεχόμενο ο Θανάσης (KARKAR)) ότι $A{'} D \bot B{'} L\;\left( { \to A M \bot OK} \right)$ , καθότι οι διαγώνιοι ορθογωνίου διχοτομούνται.

S.E.Louridas

polysindos · #6

Θα χρησιμοποιήσω το σχήμα του S.E.Louridas και θα θεωρήσω ότι το σημείο

είναι η αρχή των αξόνων και τα κέντρα κινούνται στους άξονες με $OK=R+\rho$ .Αν DK=x

τότε $DO=\sqrt{\left ( R+\rho \right )^{2}-x^{2}}$ .Το εμβαδόν δίνεται από τον τύπο $E\left ( x \right )=\frac{1}{2}\left ( R+x \right )\left (\sqrt{\left ( R+\rho \right )^{2}-x^{2}}+\rho \right )$ .
$E{}'\left ( x \right )=0$ μας δίνει $\sqrt{\left ( R+\rho \right )^{2}-x^{2}}+\rho \right )-\frac{\left ( R+x \right )x}{\sqrt{\left ( R+\rho \right )^{2}-x^{2}}}=0$
Με άλλο τρόπο $\frac{\sqrt{\left ( R+\rho \right )^{2}-x^{2}}+\rho }{R+x}=\frac{x}{\sqrt{\left ( R+\rho \right )^{2}-x^{2}}}$ .
Αυτή μεταφράζεται σε $\lambda _{DM}=-\frac{1}{\lambda _{OK}}$ .
Δηλαδή το μέγιστο εμβαδόν επιτυγχάνεται όταν η

είναι κάθετη στην διάκεντρο

.

S.E.Louridas · #7

Ακριβώς ακριβώς polysindos το ότι ματέφερα "Ισόμορφα" την κίνηση της γωνίας σε κίνηση των κύκλων (διατηρώντας, προφανώς, τίς ακτίνες τους και την διάκεντρό τους) και άρα σταθεροποιώντας την ορθή γωνία (Origin στο

) και ονομάζοντας x=DK

, είχε αυτό το στόχο. Όμως δεν κατάφερα την ισότητα της παραγώγου με το μηδέν να την μετουσιώσω σε maximum (αφού δεν μπόρεσα να εντοπίσω την θέση αυτή του

που οδηγεί σε εκείνη την εναλλαγή της μονοτονίας που οδηγεί στο maximum).

S.E.Louridas

S.E.Louridas · #8

KARKAR έγραψε:Οι κύκλοι $(O , \rho)$ και εφάπτονται εξωτερικά . Σημείο κινείται επί του κύκλου $(O , \rho)$ .

Ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ , δημιουργείται από την εφαπτομένη $\varepsilon$ , στο ,

και από εφαπτομένη του , κάθετη προς την $\varepsilon$ .

1) Βρείτε το μέγιστο εμβαδόν του $\displaystyle ABC$ .

2) Βρείτε το γεωμετρικό τόπο , του μέσου , της υποτείνουσας του .

Αν μου το επιτρέπει ο εισηγητής του θέματος, θα ήθελα (χάριν της Γεωμετρικής μας εδώ κουβέντας) να βάλω και ένα Ανοικτό Ερώτημα:

" Μπορεί να προσδιοριστεί Κατασκευαστικά το σημείο , ώστε η να είναι κάθετη στην διάκεντρο ; "

S.E.Louridas

KARKAR · #9

Βάζω και το σχήμα της λύσης του polysindos . Προφανώς (ABC)=(DBC)

Ακόμα και τώρα ο υπολογισμός του

, από τη σχέση $\lambda _{DM}{\cdot}\lambda _{OK}=-1$ δεν είναι εύκολη ,

(είναι εξίσωση τετάρτου βαθμού) , ώστε να απαντηθεί το ερώτημα , πόσο είναι το μέγιστο εμβαδόν του τριγώνου .

Αυτό , ίσως , απαντά και στο ερώτημα του κατασκευαστικού προσδιορισμού του σημείου

, που

φαίνεται πιθανότερο , να λάβει αρνητική απάντηση ...

S.E.Louridas · #10

Η προσωπική μου άποψη είναι ότι σε μία άσκηση μία απάντηση - λύση δεν πρέπει να είναι το μοναδικό ευρύτερο ζητούμενο, τουλάχιστον από ένα σημείο και μετά. Μεγάλη Σημασία έχει και το περιβάλλον που δημιουργεί, αλλά και οι επιστημονικοί διάλογοι που πιθανόν να βγαίνουν από την δυναμική της καθώς και μεθοδολογικά δεδομένα.
Πιστεύω απόλυτα ότι η άσκηση αυτή πρόσφερε πολλαπλά και αυτό επειδή:
1) Είχε μία πλήρη ενότητα ενός όμορφου γεωμετρικού τόπου,
2) Έδωσε την ευκαιρία να κάνουμε "εναλλαγή" βασικών σταθερών στοιχείων σε ''κινούμενα' και ''κινούμενων'' σε σταθερά γιά να δημιουργήσουμε σύστημα αξόνων, δημιουργώντας γιά επίλυση απολύτως ισοδύναμο πρόβλημα.
3) Είναι (ίσως) ένα Γεωμετρικό πρόβλημα από εκείνα που καταδεικνύουν το ενδεχόμενο: Η ύπαρξη ενός σημείου δεν συνεπάγεται πάντα και την κατασκευή του.
4) Έδωσε την ευκαιρία να ξαναμιλήσουμε γιά το "θαύμα" με βάση την Θεωρία των ομάδων (Galois) της απόδειξης της μη κατασκευής ενός γεωμετρικού μεγέθους με κανόνα και διαβήτη όταν οδηγούμεθα σε πλήρη πολυωνυμική εξίσωση βαθμού μεγαλύτερου του 2.
5) Γιά να χαρακτηρήσουμε μία τιμή maximum δέν αρκεί μόνο να παρουσιάζεται σε τιμή - ρίζα της πρώτης παραγώγου.
6) Είδαμε τον κατασκευαστικό προσδιορισμό του σχήματος στην θέση που δίνει το μέγιστο εμβαδό, στην περίπτωση του " ίδιου " προβλήματος, όταν ο ένας κύκλος εκφυλιστεί σε σημείο που συνεπάγεται την καθετότητα των AM,KO

, στη θέση αυτή.
7) Δημιούργησε προϋποθέσεις ανοικτών ερωτήσεων.
Και το σπουδαιότερο είδαμε την διαδικασία κατασκευής ένός καινούργιου μαθηματικού προβλήματος (εδώ από τον Θανάση ο οποίος δέν το επιχειρεί γιά πρώτη φορά) που πάντα δίνει και γεννά, έτσι ή αλλιώς.

S.E.Louridas

Εξ επαφών

Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Re: Εξ επαφών

Μέλη σε σύνδεση