Συντρεχικότητα κύκλων

panos misiakos · #1

Θεωρούμε τρίγωνο ABC

το εγκεντρό του

και σημείο

στον περίκυκλό του ώστε $DI \perp CI$ . Έστω M,N

τα μέσα των τόξων

και

αντίστοιχα και ορίζουμε $P \equiv AB \cap MD$ και $Q \equiv AC \cap ND$ . Ακόμη θεωρούμε

το σημείο τομής της

με την

και

το σημείο τομής της

με την

.
Να αποδείξετε ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των τριγώνων AEI

,

και

συντρέχουν σε σημείο του περίκυκλου του ABC

.

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

Με αφορμή τον τίτλο του θέματος, υπάρχει μετάφραση στα ελληνικά του όρου concurrency, όπως αυτός χρησιμοποιείται στη γεωμετρία;
Φιλολογική απορία...

Grigoris K. · #3

Καλησπέρα Πάνο και Θανάση. Δίνω μια ιδέα:

Καταρχάς από Θ. Pascal έπεται ότι τα $\displaystyle{ P,E,I,Q }$ είναι συνευθειακά. Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle BDP = \frac{\angle C}{2} = \angle MBP}$ άρα $\displaystyle{ MB^2 = MP\cdot MD}$ .

Επομένως $\displaystyle{ MI^2 = MB^2 = MP \cdot MD \implies IP \perp MD }$ . Έστω $\displaystyle{ V \equiv (BFI) \cap (ABC) }$ . Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle AEI = \frac{\angle B}{2} + \angle EQD = }$

$\displaystyle{= \frac{\angle B}{2} + 90^o - \angle PDQ = \frac{\angle B}{2} + \frac{\angle A}{2}= 90^o - \frac{\angle C}{2} = 180^o - \angle C - \left(90^o - \frac{\angle C}{2} \right ) = \angle BVA - \angle BVI = \angle AVI \implies \angle AEI = \angle AVI }$

άρα ο $\displaystyle{ (AEI) }$ διέρχεται από το $\displaystyle{ V }$ . Έστω $\displaystyle{ J \equiv (BFI) \cap AB }$ . Παρατηρούμε ότι $\displaystyle{ \angle JIA = \angle BJI - \frac{\angle A}{2} = \angle IFC - \frac{\angle A}{2} = \frac{\angle B}{2} = \angle JBI }$

άρα η $\displaystyle{ AI }$ εφάπτεται του $\displaystyle{ (BFI) }$ . Ισχύει ότι $\displaystyle{ \angle VEA = \angle VIA = \angle VFI \implies 180^o - \angle VEA = 180^o - \angle VFI \implies \angle VED = \angle VFD }$ .

Επομένως ο κύκλος $\displaystyle{ (DFE) }$ διέρχεται από το $\displaystyle{ V }$ . Συνεπώς οι τρεις κύκλοι της εκφώνησης συντρέχουν στο $\displaystyle{ V }$ που είναι σημείο του $\displaystyle{ (ABC) }$ .

Σίλης · #4

socrates έγραψε:Με αφορμή τον τίτλο του θέματος, υπάρχει μετάφραση στα ελληνικά του όρου concurrency, όπως αυτός χρησιμοποιείται στη γεωμετρία;
Φιλολογική απορία... :)

Καλή ερώτηση. Δέν έχω ακούσει κάτι προσωπικά, αλλα σίγουρα το συντρεχικότητα είναι λάθος (γιατι σά να βγαίνει απο επίθετο συντρεχικός, που δέ το λέμε βέβαια, λέμε ανταυτού το παλαιοελληνικό συντρέχων). Το μόνο προηγούμενο που έχουμε στα ελληνικά σε ουσιαστικό απ' το τρέχω, απ' όσο ξέρω, είναι το κακεντρέχεια, άρα ένας σαφώς καλύτερος σχηματισμός θα ήταν το συντρέχεια. Πάντως, σε τέτοιες περιπτώσεις, όταν θέλουμε να βγάλουμε ουσιαστικά μπορούμε πάντα να χρησιμοποιούμε επίθετα/μετοχές: «το συντρέχον των κύκλων».

Συμφωνώ οτι όλες οι επιλογές ακούγονται σάν απο χορωδία χιλίων καρδιναλίων. Ίσως έχει κάποιος άλλος κάτι άλλο υπόψη, όχι τόσο πιστά αποδομένο (έντιτ: αλλα πιστότερα απ' το κοινή τομή ας πούμε, το οποίο εξάλλου είναι μάλλον το πιό ευρέως χρησιμοποιούμενο, έτσι δεν είναι;).

Συντρεχικότητα κύκλων

Συντρεχικότητα κύκλων

Re: Συντρεχικότητα κύκλων

Re: Συντρεχικότητα κύκλων

Re: Συντρεχικότητα κύκλων

Μέλη σε σύνδεση