Γενικό Διαγώνισμα

M.S.Vovos · #1

Καλησπέρα, στην αγαπητή παρέα του ! Ελπίζω, όλοι να είστε καλά και εύχομαι να περνάτε πολύ ωραία στις γιορτές! Παρακάτω, επισυνάπτω το

διαγώνισμα που θα τεθεί ως επαναληπτικό (εφ' όλης της ύλης). Να τονίσω, πως οι μαθητές που δεν έχουν φτάσει ακόμη στα ολοκληρώματα μπορούν, άνετα, να

λύσουν όλα τα θέματα, εκτός του Δ.4 και του Α.3.δ. Θερμή παράκληση, σε όλους και όλες, για σχόλια και λύσεις.

Kostas Tzimoulias · #2

Καλησπέρα και χρόνια πολλά..θα δώσω λύση σε όσα προλαβαίνω.

ΘΕΜΑ.Β

Β1) Από τα στοιχεία της εκφώνησης έχω: f(1)=a+b=1

και $f'(1)=\dfrac{1}{2}=\dfrac{a}{2} +b$ λύνοντας το σύστημα προκείπτει ότι a=1

άρα $\fbox{f(x)=\sqrt{x}}$

B2) Έστω

η τιμή του ορίου .θέτω στο ζητούμενο όριο όπου x-1=y

οπότε $y \rightarrow 1$ Από το B1) γνωρίζω οτι

παραγωγισίμη στο

διώχνω τη ρίζα με γνωστή ιδιότητα και εφαρμόζοντας DLH προκύπτει οτι $L=\dfrac{5}{6}$

B.3) (Για ευκολία $\xi=c$ )Έστω

η ζητούμενη ευθεία. $\lambda_k=\dfrac{f(c)}{2c}$ και $\fbox{f'(c)=\dfrac{1}{2\sqrt{c}}=\dfrac{\sqrt{c}}{2c}=\dfrac{f(c)}{2c}=\lambda_k}$ και αφού B(c,f(c))

ή $B(c,\sqrt{c})$ $\in C_f,k$
Συμπεραίνουμε ότι η

εφάπτεται της C_f

στο

η ελάχιστη απόσταση του $D(\dfrac{9}{2},0)$ απο τη C_f

είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $\fbox{d(x)=\sqrt{x^2+(x^2-\dfrac{9}{2})}}$
παραγωγίζοντας κατά τα γνωστά $d'(x)=x^3-\dfrac{7}{2}x$ απ'όπου προκύπτει ότι το σημείο ελάχιστης απόστασης είναι το $\fbox{x0=\sqrt\dfrac{7}{2}}$

τώρα άν έχω κάνει λάθος μάλλον πρόκειται για αριθμητικό μου φαίνεται λίγο παράξενο το σημείο που βρήκα...και οι πράξεις είναι κουραστικές απο κει και πέρα...νομίζω

#3

Kostas Tzimoulias έγραψε:Καλησπέρα και χρόνια πολλά..θα δώσω λύση σε όσα προλαβαίνω.

ΘΕΜΑ.Β

η ελάχιστη απόσταση του $D(\dfrac{9}{2},0)$ απο τη είναι η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης $\fbox{d(x)=\sqrt{x^2+(x^2-\dfrac{9}{2})}}$
παραγωγίζοντας κατά τα γνωστά $d'(x)=x^3-\dfrac{7}{2}x$ απ'όπου προκύπτει ότι το σημείο ελάχιστης απόστασης είναι το $\fbox{x0=\sqrt\dfrac{7}{2}}$

τώρα άν έχω κάνει λάθος μάλλον πρόκειται για αριθμητικό μου φαίνεται λίγο παράξενο το σημείο που βρήκα...και οι πράξεις είναι κουραστικές απο κει και πέρα...νομίζω

Καλημέρα και Χρόνια Πολλά.

Έχει γίνει λάθος στον τύπο. Είναι: $\displaystyle{d(x) = \sqrt {x + {{\left( {x - \frac{9}{2}} \right)}^2}} }$

Όλο το

είναι άσκηση του σχολικού βιβλίου (άσκηση

, Β' Ομάδας στα ακρότατα)

Kostas Tzimoulias · #4

ναι βιασύνη....προφανώς f(x)=\sqrt{x} οπότε προκείπτει εύκολα

M.S.Vovos · #5

...Εναλλακτικά στο ερώτημα Β2...

Το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο των δεικτών των ριζών είναι το

.

Θέτουμε $\displaystyle \sqrt[6]{x-1}=t$ , οπότε $x-1=t^{6}$ , άρα $\sqrt{x-1}=t^{3}$ , $\sqrt[3]{x-1}=t^{2}$ και $x=t^{6}+1$ .

Έχουμε:

$\displaystyle \lim_{x\rightarrow 2}\frac{\sqrt{x-1}+\sqrt[3]{x-1}-2}{x-2}=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{t^{3}+t^{2}-2}{t^{6}-1}=\lim_{t\rightarrow 1}\frac{(t-1)(t^{2}+2t+2)}{(t-1)(t^{5}+t^{4}+...+1)}= \frac{5}{6}$

spege · #6

Στο Β4 .....είναι κάθετη στην ΔΜ θέλει
Σχόλια για το Β καλό στο πνεύμα του σχολικού και σαν Β θέμα
Στο Γ πολύ υπαρξιακό δεν θα το συνιστούσα
το Γ2 μόνο αν το έχει διαβάσει ο μαθητής το γράφει και φυσικά εκτός πνεύματος σχολικού
Καλή χρονιά να έχουμε
Σπύρος

Kostas Tzimoulias · #7

Για το Γ.2 προφανώς πρόκειται για γραμμική σχέση που θέλω να πιστεύω διδάσκεται στο σχολείο...βασικό ερώτημα το θεωρώ μιας και όλα τα βοηθήματα το περιλαμβάνουν ( δε μιλάω για το βιβλίο γιατί είναι απαράδεκτο)

lowbaper92 · #8

Θέμα Γ

Γ1) Από Θεώρημα Μέσης Τιμής στο $\left[\alpha ,\beta \right]$ προκύπτει άμεσα

Γ2) Έστω $\alpha <d_{1}<\beta$ .
Θέλουμε $2\left(d_{1} -\alpha \right)=\beta -d_{1}\Leftrightarrow d_{1}=\frac{2\alpha +\beta }{3}$
Από Θεώρημα Μέσης Τιμής προκύπτουν:
$\displaystyle{\xi _{1}\in \left(d_{1} ,\beta \right):f'\left(\xi _{1} \right)=\frac{f\left(\beta \right)-f\left(d_{1} \right)}{\beta -d_{1}}=\frac{\beta-f\left(d_{1} \right) }{2\left(d_{1}-\alpha \right)}}$
$\displaystyle{\xi _{2}\in \left(\alpha ,d_{1} \right):f'\left(\xi _{2} \right)=\frac{f\left(d_{1} \right)-\alpha }{d_{1}-\alpha }}$
Άρα
$\displaystyle{2f'\left(\xi _{1} \right)+f'\left(\xi _{2} \right)=\frac{\beta -f\left(d_{1} \right)+f\left(d_{1} \right)-\alpha }{\frac{2\alpha +\beta }{3}-\alpha }=\frac{\beta -\alpha }{\frac{\beta -\alpha }{3}}=3}$

Γ3) Η

είναι συνεχής στο $\left[\alpha ,\beta \right]$ με $f\left(\alpha \right)=\alpha \neq f\left(\beta \right)=\beta$
$\displaystyle{f\left(\alpha \right)=\alpha <\frac{2\alpha +\beta }{3}< f\left(\beta \right)=\beta }$
Άρα από Θεώρημα Ενδιάμεσων Τιμών $\exists x_{0}\in \left(\alpha ,\beta \right):f\left(x_{0} \right)=\frac{2\alpha +\beta }{3}$

Γ4) Θεώρημα Μέσης τιμής στα $\left[\alpha ,x_{0} \right]$ και $\left[x_{0} ,\beta \right]$
______________________________________________
Νομίζω ότι τα θέματα ύπαρξης που εξετάζει είναι πολύ εύκολα εφόσον πρόκειται για επαναληπτικό εφ' όλης της ύλης (ειδικά το Γ1 νομίζω δεν έχει λόγο ύπαρξης), ενώ δεν εξετάζεται το Θεώρημα Rolle.

M.S.Vovos · #9

Καλησπέρα, στη παρέα του ! Μετά, από συζήτηση με τους άλλους καθηγητές, αποφασίσαμε να θέσουμε το πρώτο διαγώνισμα σε παιδιά μέτριας επίδοσης και το παρακάτω σε παιδιά με υψηλή επίδοση στο μάθημα. Να τονίσω, πως τα παιδιά το έχουν ζητήσει και ότι θα ανεβάσω στατιστικά στοιχεία, με το που το γράψουν. Ακόμη, 27 απόφοιτοι θα εξεταστούν στο συγκεκριμένο διαγώνισμα σε περίπου ένα μήνα από τώρα. Καλή δύναμη, με υγεία!

Φιλικά,
Μάριος

Γενικό Διαγώνισμα

Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Re: Γενικό Διαγώνισμα

Μέλη σε σύνδεση