Θέμα Β

KARKAR · #1

Ας γράψουμε κι ένα θέμα Β . Θυμηθείτε ότι θέλουμε τα θέματά μας να "πατάνε"

και σε ύλη που έχει διδαχθεί σε μικρότερες τάξεις .

Θέμα Β.pdf: (185.58 KiB) Μεταφορτώθηκε 202 φορές

#2

KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 11, 2019 8:09 pm Ας γράψουμε κι ένα θέμα Β . Θυμηθείτε ότι θέλουμε τα θέματά μας να "πατάνε"

και σε ύλη που έχει διδαχθεί σε μικρότερες τάξεις .Θέμα Β.pdf

...μια προσπάθεια στο θέμα του Θανάση...μέχρι το και το (iii)

ΛΥΣΗ
I) Είναι η $f(x)=\ln \left( \frac{\alpha x}{{{x}^{2}}+1} \right)$ παραγωγίσιμη με

${f}'(x)={{\left( \ln (\alpha x)-\ln ({{x}^{2}}+1) \right)}^{\prime }}=\frac{1}{x}-\frac{2x}{{{x}^{2}}+1}=\frac{1-{{x}^{2}}}{x({{x}^{2}}+1)}=\frac{(1-x)(1+x)}{x({{x}^{2}}+1)}$ και

${f}'(x)=0\Leftrightarrow x=1$ και επίσης ${f}'(x)>0\Leftrightarrow x<1$ και ${f}'(x)<0\Leftrightarrow x>1$ που σημαίνει ότι η

είναι γνήσια αύξουσα στο $(0,\,\,1]$ και ότι η

είναι γνήσια φθίνουσα στο $[1,\,+\infty )$

άρα έχει μέγιστη τιμή το $f(1)=\ln \left( \frac{\alpha }{2} \right)$

Ακόμη $\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$ και $\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=-\infty$ αφού

$\underset{x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\alpha x}{{{x}^{2}}+1} \right)=0,\,\,\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\alpha x}{{{x}^{2}}+1} \right)=\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\left( \frac{\alpha }{x} \right)=0$

επομένως αν $f(1)=\ln \left( \frac{\alpha }{2} \right)\le 0$ η συνάρτηση θα παίρνει μόνο μη θετικές

άρα για να παίρνει και θετικές πρέπει $f(1)=\ln \left( \frac{\alpha }{2} \right)>0\Leftrightarrow \alpha >2$

ii) Για $\alpha >2$ είναι $f((0,\,1])=\left( -\infty ,\,\,\ln \left( \frac{\alpha }{2} \right) \right],\,\,f([1,\,\,+\infty ))=\left( -\infty ,\,\,\ln \left( \frac{\alpha }{2} \right) \right]$ και επειδή

$0\in \left( -\infty ,\,\,\ln \left( \frac{\alpha }{2} \right) \right]$ η συνάρτηση έχει δύο μοναδικές ρίζες

${{x}_{1}}\in (0,\,1),\,\,{{x}_{2}}(1,\,\,+\infty )$ και αφού

$\displaystyle f(\frac{1}{{{x}_{2}}})=\ln \left( \frac{\alpha \frac{1}{{{x}_{2}}}}{\frac{1}{x_{2}^{2}}+1} \right)=\ln \left( \frac{\alpha \frac{1}{{{x}_{2}}}}{\frac{1+x_{2}^{2}}{x_{2}^{2}}} \right)=\ln \left( \frac{\alpha {{x}_{2}}}{1+x_{2}^{2}} \right)=0$

αν η $\displaystyle \frac{1}{{{x}_{2}}}$ είναι ρίζα της και η $\displaystyle \frac{1}{{{x}_{2}}}$ είναι ρίζα της άρα όταν έχει δύο ρίζες είναι αντίστροφες μεταξύ τους.

iii) Αφού ${f}'(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{x({{x}^{2}}+1)}$ προφανώς η {f}'

είναι ανεξάρτητη από τις τιμές του $\alpha$

...και το υπόλοιπο ...

iii) Αφού ${f}'(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{x({{x}^{2}}+1)}$ προφανώς η {f}'

είναι ανεξάρτητη από τις τιμές του $\alpha$

iv) Είναι ${f}''(x)={{\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{{{x}^{3}}+x} \right)}^{\prime }}=\frac{-2x({{x}^{3}}+x)-(1-{{x}^{2}})(3{{x}^{2}}+1)}{{{({{x}^{3}}+x)}^{2}}}=\frac{{{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1}{{{({{x}^{3}}+x)}^{2}}}$ και

${f}''(x)=0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1=0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}=5$ απ’ όπου προκύπτει μοναδική ρίζα $x=\sqrt{2+\sqrt{5}}$ και

${f}''(x)>0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1>0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}>5\Leftrightarrow x>\sqrt{2+\sqrt{5}}$ άρα η

είναι κυρτή στο διάστημα $[\sqrt{2+\sqrt{5}},\,+\infty )$ και

${f}''(x)<0\Leftrightarrow {{x}^{4}}-4{{x}^{2}}-1<0\Leftrightarrow {{\left( {{x}^{2}}-2 \right)}^{2}}<5\Leftrightarrow x<\sqrt{2+\sqrt{5}}$ άρα η

είναι κοίλη στο διάστημα $(0,\,\,\sqrt{2+\sqrt{5}}]$

και έτσι το $x=\sqrt{2+\sqrt{5}}$ είναι η θέση του μοναδικού σημείουκαμπής .

v) Η εφαπτομέμη της γραφικής παράστασης της συνάρτησης στο σημείο της $\left( \frac{1}{2},\,f\left( \frac{1}{2} \right) \right)$ είναι

$y-f\left( \frac{1}{2} \right)={f}'\left( \frac{1}{2} \right)\left( x-\frac{1}{2} \right)$ και για να περνάει από την αρχή των αξόνων πρέπει να ισχύει

$0-f\left( \frac{1}{2} \right)={f}'\left( \frac{1}{2} \right)\left( 0-\frac{1}{2} \right)\Leftrightarrow f\left( \frac{1}{2} \right)=\frac{1}{2}{f}'\left( \frac{1}{2} \right)$

$\Leftrightarrow \ln \left( \frac{2\alpha }{5} \right)=\frac{1}{2}\cdot \frac{6}{5}\Leftrightarrow \frac{2\alpha }{5}={{e}^{\frac{3}{5}}}\Leftrightarrow a=\frac{5}{2}{{e}^{\frac{3}{5}}}$

Φιλικά και Μαθηματικά
Βασίλης

Λάμπρος Κατσάπας · #3

KAKABASBASILEIOS έγραψε: Σάβ Απρ 13, 2019 10:52 pm
KARKAR έγραψε: Πέμ Απρ 11, 2019 8:09 pm Ας γράψουμε κι ένα θέμα Β . Θυμηθείτε ότι θέλουμε τα θέματά μας να "πατάνε"

και σε ύλη που έχει διδαχθεί σε μικρότερες τάξεις .Θέμα Β.pdf
iii) Αφού ${f}'(x)=\frac{1-{{x}^{2}}}{x({{x}^{2}}+1)}$ προφανώς η είναι ανεξάρτητη από τις τιμές του $\alpha$

...το υπόλοιπο σε λίγο...

Αλλιώς: $f(x)=\ln a+\ln x-\ln (x^2+1)$ και επειδή $\ln a$ σταθερά η παράγωγος είναι ανεξάρτητη του

Στο (ii) δεν μας ενδιαφέρουν τα

για τα οποία η

έχει δύο ρίζες (αν υπάρχουν τέτοια).

Μας ενδιαφέρει να αποδειχθεί η συνεπαγωγή $f(x_1)=0=f(x_2),x_1\neq x_2\Rightarrow x_1x_2=1$ . Έχουμε

$f(x_1)=0=f(x_2)\Rightarrow f(x_1)=f(x_2) \Rightarrow \dfrac{ax_1}{x_{1}^{2}+1}\Rightarrow \dfrac{ax_2}{x_{2}^{2}+1}$

$\Rightarrow x_2x_{1}^{2}-x_1x_{2}^{2}-x_1+x_2=0\Rightarrow (x_1-x_2)(x_1x_2-1)=0\Rightarrow x_1x_2=1.$

Έτσι αποδείξαμε και κάτι καλύτερο ότι αν η συνάρτηση παίρνει την ίδια τιμή για διαφορετικά

τότε αυτά είναι αντίστροφοι.

Θέμα Β

Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Re: Θέμα Β

Μέλη σε σύνδεση