Λόγοι ανεξάρτητοι της θελήσεώς μου με υποχρεώνουν
να διακόψω την συμμετοχή μου εις το φόρουμ.
Πρωτίστως, ευχαριστώ:
Τους διαχειριστές , τους συνομιλητές και τους αναγνώστες ,
διά
την φιλοξενία , τα ενδιαφέροντα σχόλια , και τον χρόνο τους,
αντιστοίχως.
...
Υπάρχουν ορισμένες εκκρεμότητες,
σχετικώς ...

Εν όσω αναμένουμε και άλλες ενδιαφέρουσες αποδείξεις περί της δυνατότητας υπολογισμού της $SP$, ας φανταστούμε μία σκηνή:
Ας θεωρήσουμε την πυραμίδα (βλέπε σχήμα), ας ονομάσουμε $ABCD$ την βάση της και ας φανταστούμε τον Θαλή να βαδίζει σε μία απόσταση από την $AB$ (λόγου χάριν $100$ μέτρων ...

Αγαπητέ Δημήτρη,
το ότι τα εν λόγω πολύεδρα δεν δηλώνονται ως κανονικά (πώς, άλλωστε;) δεν αρκεί διά να «τους δικαιολογήσουμε» (όπως λέγεις).
Διότι η “ δήλωση ” υπάρχει – έμμεση πλην σαφής: Είναι τα αναπτύγματα που ευρίσκονται παραπλεύρως των στερεών.
Άλλωστε, (π.χ.) το εικοσάεδρο μόνον ως κανονικό ...

polyhedra_12-hedron.PNG
Το “ κόκκινο ” πεντάγωνο είναι η προβολή ενός ...κανονικού πενταγώνου του οποίου οι διαγώνιοι δεν είναι παράλληλοι προς τις πλευρές του.
Το “ μπλε ” πεντάγωνο δεν είναι, καν, κυρτό....
Ερώτηση:
Εάν ο μαθητής έχει πεισθεί ότι αυτό που βλέπει είναι η απεικόνιση ενός ...

Αγαπητέ Δημήτρη,
πρώτα σ΄ ευχαριστώ και, κατόπιν, σε παρακαλώ να προσδιορίσεις τις ευθείες $Sx$ και $Sy$, οι οποίες τέμνονται καθέτως επί του $S$.

17_11_13_mine_a.PNG
Σημείωση :
Επαναλαμβάνω το μήνυμα του Δημήτρη:
<<
Μια άλλη ιδέα πολύ περιληπτική λόγω περιορισμένου χρόνου...
Κατασκεύασε ορθή ...

Δι΄ εφαρμογής του τύπου του Ήρωνος εις το τρίγωνο έχομε , όπου το διά του ύψος του τριγώνου .
Επομένως, .
Δι εφαρμογής του πυθαγορείου θεωρήματος εις το τρίγωνο όπου, , το μέσον του , λαμβάνουμε: .
Οπότε, .

Η (μία) τρίτη λύση:
«Η λύση της ταβέρνας» (εις την οποία παρέπεμψα εις το προηγούμενο μήνυμά μου) είναι μία μέθοδος “ ενδιάμεση ” υπό την έννοια ότι είναι αποδεκτή (ή, μη απορριπτέα) τόσο από ένα τεχνίτη, ξυλουργό, όσο και από ένα μαθηματικό: Η παράλληλη μεταφορά (μόνον) ενός τμήματος ευθείας επί ...

«Σήμερα θα σας αποδείξω ότι ο όγκος του πρίσματος που σας είχα δείξει την Δευτέρα ισούται προς τον όγκο τριών πυραμίδων που έχουν την αυτή βάση και το αυτό ύψος με αυτό... Ο τρόπος θα είναι παρόμοιος με εκείνον που ακολούθησα όταν το εξήγησα σε ένα παιδί της δευτέρας δημοτικού...
Προσέξτε διότι ...

Υποτιθεμένου ότι οι πλευρές του γνώμονος είναι ισοπλατείς οι ομόλογες γωνίες των ομοίων τριγώνων $A'B'C'$ και $ABC$ έχουν κοινές διχοτόμους.
Το πλάτος των πλευρών του “γνώμονος” είναι, προφανώς ίσο με την διαφορά των ακτίνων των εγγεγραμένων κύκλων εις τα τρίγωνα αυτά.
Επειδή ο λόγος ομοιότητος των ...

Θεωρούμε τρίεδρη τρισορθογώνια γωνία $O,XYZ$ και την ορθή προβολή της, $O',X'Y'Z'$, επί επιπέδου $(P)$.
Εάν η γωνία $X'O'Y'$ είναι ορθή και η $OZ$ δεν είναι κάθετος επί το $(P)$ (ήτοι, οι $OX$, $OY$ δεν είναι παράλληλες προς αυτό, οπότε, η $O,XYZ$ προβάλλεται ως $X'O'Y'$ ) τότε, η $O'Z'$ θα είναι ...

Ας δούμε, τώρα, το τετράεδρο $ABCDFE$, εις τα αριστερά της αρχικής εικόνος:

8_hedron_a.PNG
Τα τετράγωνα $ABCD$, $AFCD$ και $BFDE$, θα έπρεπε να προβάλλονται (τουλάχιστον) ως παραλληλόγραμμα.
Ίσως όμως να έχει εφαρμοσθεί κάποια ... άγνωστη εις εμέ, προοπτική (εάν είναι επιτρεπτή, αυτή, εις τα ...

Το $S$ είναι σημείο γνωστό (τομή της $BO$ μετά του κύκλου $(O,R)$).
Το $A$ ειναι η τομή του κύκλου $(O,R)$ μετά της παραλλήλου της $BC$, της συμμετρικής αυτής ως προς το σημείο $S$.
Εν γένει έχουμε δύο λύσεις συμμετρικές ως προς την μεσοκάθετο της $BC$, εφόσον η απόσταση $d$ του $O$ από την $BC ...

Κατ΄ αρχάς, ας εξετάσουμε το τετράεδρο εις τα αριστερά της αρχικής εικόνας:
Ας το ονομάσουμε $S,ABC$ ($S$ η κορυφή του – θεωρουμένου ως πυραμίδος).
Ας κατασκευάσουμε το διά του $S$ ύψος του, το $SH$. Και, διά να διευκολυνθούμε, ας το στρέψουμε ώστε να καταστήσουμε το $SH$ κάθετο προς την βάση της ...

Μία κριτική ...παράδοξη (παρά την δόξαν):
Ας μου επιτραπεί να κρίνω τις δύο λύσεις που πρότειναν οι συνομιλητές, Doloros και Γιώργος Ρίζος.
Αυτή την κριτική, την υποβάλλω ως έναυσμα δια την εξέταση ενός θέματος το οποίο θεωρώ σημαντικό. Εις την σχετική συζήτηση – εάν διεξαχθεί – θα καταθέσω τις ...

Θεωρούμε κύκλον $(O)$, μία διάμετρό του, την $HZ$, και μία χορδή του, την $AB$, κάθετον επί την $HZ$ εις το σημείο $I$.
Η δύναμη του $I$ ως προς τον κύκλο ($O$) είναι ίση προς $(IH)(IZ)$.
Η δύναμη του $H$ ως προς τον κύκλο $(O)$ είναι ίση προς $0$.

13_11_28_a.PNG
Έστω $M$, τυχόν σημείο του $(O ...

Ας μου επιτραπεί να παρουσιάσω ένα παιδικό “παιγνίδι” (αρχή λειτουργίας):
Δι΄ αυτού υλοποιείται η κάθετη προβολή ενός αντικειμένου επί επιπέδου. Πρόκειται περί μίας παραλλαγής των μεθόδων, κεντρικής προβολής, που χρησιμοποιούσαν τους προηγουμένους αιώνες ορισμένοι ζωγράφοι (υπάρχουν πολλές, σχετικές ...

polyhedra_4_8_20.PNG
Εις την εικόνα βλέπουμε δύο ζεύγη ομωνύμων κανονικών πολυγώνων.
Εάν, τα στοιχεία (αριστερό-δεξιό) εκάστου ζεύγους δεν παριστούν το αυτό στερεό, τουλάχιστον , ενα εκ των δύο είναι εσφαλμένο, δηλαδή, μη κανονικό .
Ποία είναι τα εσφαλμένα "κανονικά" πολύεδρα και πώς αποδεικνύεται ...

Τίτλος:
Οι δύο πρώτες λύσεις του προβλήματος (doloros και Γιώργου Ρίζου), θεωρούμενες από μία μη δηλωμένη οπτική:
Ερώτηση:
Πως θα επέλυε το πρόβλημα κάποιος ο οποίος δεν εγνώριζε τα θεωρήματα που χρησιμοποιήθηκαν;
Την άγνοια αυτή, είναι εύλογο να την υποθέσουμε: Όχι μόνον για τον ηλεκτρολόγο ...

Γιατί δεν ξεκινάμε από τα απλά; Πως λέγεστε; Η ανωνυμία εγείρει ερωτηματικά...

Όσο αφορά για το βιβλίο (με τόσες παραπομπές μπερδεύεσαι) τελικά το βρήκα εδώ

Αγαπητέ,
η απάντηση εις την (δικαιολογημένη;) ένστασή σου περί της «ανωνυμίας» μου, απαιτεί μία διευκρινιστική ερώτηση:
Διά τί, το ...