Επίσης να προσθέσω ότι η δεν είναι κάτω από την ευθεία σε όλο το Πράγματι, για κάθε έχουμε:

Συμφωνώ με το περιεχόμενο της ανακοίνωσης και την υπογράφω

Νίκος Σκομπρής
Μαθηματικός

Για την ακρίβεια είναι

Η συνάρτηση $f$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R}.$
Πράγματι, αν $x_1,x_2\in\mathbb{R},$ με $x_1<x_2$ τότε είναι $x_1+1<x_2+1\Rightarrow e^{f(x_1)}+f(x_1)<e^{f(x_2)}+f(x_2)$ (1)
Επειδή η συνάρτηση $g(x)=e^x+x$ είναι γνησίως αύξουσα στο $\mathbb{R},$ τότε από τη σχέση (1) παίρνουμε:
$g(f(x_1))<g ...

Σε ευχαριστώ πολύ! Το λάθος διορθώθηκε στο τεχ αρχείο και σε επόμενη ανανέωση του pdf αρχείου θα είναι οκ....

Συμφωνώ απόλυτα! Δε μπορώ να τη κάνω μόνος μου όλη αυτή τη δουλειά...μπορώ όμως να συμπληρώνω τις λύσεις στο τεχ αρχείο και να βγει ένα αρχείο-διαμάντι στους μιγαδικούς που θα μοιράζεται ελεύθερα και θα το χαίρονται όλοι. Προσωπικά το κάνω από κέφι και μεράκι και ούτε καν το πραγματικό μου όνομα θα ...

Ευχαριστώ για τις απαντήσεις και οι δύο δουλεύουν άψογα! Έχω άλλη μία: Σε μερικά αρχεία geogebra, υπάρχει ένα κουμπί ''play'' το πατάς και σου φτιάχνει το σχήμα σαν να βλέπεις ταινία...ξέρει κανένας πως γίνεται αυτό; Ευχαριστώ!

Το αρχείο ανανεώθηκε. Προστέθηκαν ασκήσεις, τα συνδιαστικά θέματα χωρίστηκαν σε τρεις ομάδες (αντί για δύο που ήταν), προστέθηκαν τα θέματα 2014 και έγιναν διορθώσεις σε κάποια λαθάκια που υπήρχαν. Κατεβάστε το από το σύνδεσμο που υπάρχει στην αρχή αυτού του post.

Ναι αυτό εννοούσα σε ευχαριστώ! Κομματάκι ζόρικο μου φαίνεται αλλά θα το συνηθίσω!

Καλησπέρα...χαζή ερώτηση αλλά είμαι καινούργιος στο geogebra: Πως κάνω το πρόγραμμα να βλέπει μια περιοχή ως μία; Πχ σε κύκλο φέρνουμε δύο εφαπτόμενες και θέλω το μικτόγραμμο τρίγωνο να το ''βλέπει'' ως μια περιοχή την οποία να τη κάνω ότι θέλω; Ευχαριστώ!

Ή μπορείς να χρησιμοποιήσεις τις εντολές:
\usepackage{anysize}
\marginsize{1cm}{1cm}{1cm}{1cm}

Τα cm τα αλλάζεις κατά βούληση και εκφράζουν περιθώρια αριστερά, δεξιά, πάνω και κάτω αντίστοιχα.

Το αρχείο ανανεώθηκε...μπορείτε να το κατεβάσετε από το link που έχω στην αρχική σελίδα...

Nομίζω ότι η ενότητα με τα επαναληπτικά θέματα θα σε καλύψει...

Καλησπέρα! Θα ήθελα απλά να σας ενημερώσω ότι το αρχικό αρχείο ανανεώθηκε και μπορείτε να το καταβάσετε στο σύνδεσμο που είναι στο αρχικό post. Επίσης θα παρακαλούσα αν τυχόν εντοπίσετε λάθος σε κάποια άσκηση, να μου το πείτε ώστε να διορθωθεί και σε επόμενη ανανέωση να είναι σωστό...ευχαριστώ! Καλή ...

Ακόμα μία στοιχειώδης λύση:
Έστω Α, Β, Γ, Δ οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle z, 1, \frac{1}{z}, -1$ αντίστοιχα.
Από το θεώρημα συνημιτόνων στο τρίγωνο ΑΒΔ παίρνουμε:
$\displaystyle\cos A=\frac{|z-1|^2+|z+1|^2-2^2}{2|z-1|\cdot|z+1|}=\cdots=\frac{|z|^2-1}{|1-z^2|}$

Από το ίδιο θεώρημα ...

Άσκηση:
Αν $z,w\in\mathbb{C}$ ώστε $Re(z\overline{w})\geq0,$ τότε είναι $|z+w|\geq|z-w|$
Λύση:
$\bullet$ Αν $z=0$ ή $w=0$ ή $z=w$ η αποδεικτέα είναι προφανής
$\bullet$ Αν οι $z,w,0$ είναι διαφορετικοί μεταξύ τους ανά δύο, τότε αν $z=a+bi$ και $w=c+di,$ με $a,b,c,d\in\mathbb{R}$
και Α, Β είναι ...

Με την παραδοχή και όπως στη λύση του Αλέξανδρου, δείχνουμε ότι

Η πρώτη ανάγεται στην η οποία με ύψωση στο τετράγωνο ανάγεται στην η οποία είναι προφανής

Γενίκευση:
Έστω $z_1,z_2,...,z_n\in\mathbb{C}$ και $\displaystyle z_0=\frac{z_1+z_2+\cdots+z_n}{n}.$ Τότε για κάθε $w\in\mathbb{C}$ ισχύει η σχέση:
$|w-z_1|^2+|w-z_2|^2+\cdots+|w-z_n|^2\geq|z_0-z_1|^2+|z_0-z_2|^2+\cdots+|z_0-z_n|^2$
Απόδειξη:
Θέτουμε $a=z-z_0$ και $b_i=z_0-z_i,$ οπότε είναι ...

Δεν χρειάζεται η συνθήκη $|z_1-z_2|=2,$ αρκεί η συνθήκη $z_1\neq z_2$
Θέτουμε $a=z_1-z_2$ και $b=z_2-z_3,$ οπότε είναι:
$z_3+iz_1=(1+i)z_2\Leftrightarrow z_2-z_3=i(z_1-z_2)\Leftrightarrow b=ai$
Επομένως είναι:
$\displaystyle(z_1-z_3)\left(\frac{1}{z_1-z_2}+\frac{1}{z_2-z_3}\right)=(a+b)\left(\frac{1 ...