.
Να βρεθεί η παραγωγίσιμη συνάρτηση $f : \mathbb R\longrightarrow \mathbb R$ που ικανοποιεί την σχέση

$$f(x)= x^2+ \int _0^xe^{-t} f(x-t)dt$$ για κάθε $x\in \mathbb R$


Με τον μετασχηματισμό $u=x-t$ έχουμε $f(x)=x^2-e^x\int_{0}^{x}e^{-u}f(u)du$.

Θέτουμε $g(x)=e^{-x}f(x), x\in R$, και $G(x ...

Πολύ ωραία!
5) Έστω ένα πολυώνυμο $P$ βαθμού $n$ με ακέραιους συντελεστές.
Δείξτε ότι για κάθε $k>0$, υπάρχουν το πολύ $n$ ακέραιοι $t$ ώστε $P(P(...P(P(t))..) = t$, όπου στην παράσταση $P(P(...P(P(t))..) = t$, συνθέτουμε την $P$, $k$ φορές.


Το ζητούμενο δεν ικανοποιείται για $P(x)=x$. Μήπως ...

Υπάρχουν $\binom{5}{3}^{100}=10^{100}$ τρόποι να διαλέξουν ακριβώς $3$ από $5$ μαθήματα χωρίς τον περιορισμό του τουλάχιστο ενός φοιτητή ανά μάθημα (καθένας από τους $100$ φοιτητές επιλέγει $3$ από $5$ μαθήματα)

Υπάρχουν $5 \cdot\binom{4}{3}^{100}=5\cdot4^{100}$ τρόποι να διαλέξουν ακριβώς $3$ από ...

μια ακόμη πρσπάθεια
Θετω $\displaystyle{a-b=x}$
θελω να υπάρχει $\displaystyle{\xi:f(b+\xi )=\xi-f(b)}$

παρατηρω οτι η $\displaystyle{x-f(b)}$ παριστάνει μια δέσμη // ευθειων με κλιση 45^0 και η κάθε ευθεία τέμνει τον αξονα των y στο $\displaystyle{-f(b)}$

H $\displaystyle{C_{f(b+x ...

Ας δούμε το επόμενο.

Δίνεται η συνάρτηση $f$ με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το $[-1,1]$ .

Να δείξετε ότι υπάρχουν $x_1,x_2\in[-1,1]$ τέτοια ώστε $f(x_1)+f(x_2)=x_1-x_2$


Αφού το $[-1,1]$ είναι το πεδίο ορισμού και το σύνολο τιμών της $f$, υπάρχει $\xi \in [-1,1]$ ρίζα της $f$ . Η σχέση ...

Πουθενά στον ορισμό ισότητας συναρτήσεων δεν μιλάει για μη συσχέτιση των συναρτήσεων. Τι σημαίνει δηλαδή ότι δυο συναρτήσεις είναι ασυσχέτιστες; Το ερώτημα είναι ένα. Ισχύει $f(t)=f^{-1}(t)\forall t\in \mathbb{R}$; Η απάντηση είναι θετική και άρα οι δυο συναρτήσεις είναι ίσες.


Ο ορισμός της ...

Το σχολικό βιβλίο μιλάει για ισότητα συναρτήσεων που είναι ασυσχέτιστες καθ’ υπό οποιονδήποτε τρόπο.

Αν σου έδινα μια συνάρτηση f και μια g με τον ίδιο τύπο και τα πέδια ορισμού τους ήταν ασυσχέτιστα, τότε ναι θα ήταν ίσες.

Στην συγκεκριμένη περίπτωση δεν συμβαίνει το ίδιο.
Η συνάρτηση $f^{-1 ...

Ας γίνω λίγο πιο συγκεκριμένος.

Για το παράδειγμα που ανέφερα έχουμε τα εξής:
$f(x)=2-x$ όπου $x=0,1,2$
$f^{-1}(y)=2-y$ , όπου $y=0,1,2$

Τότε όταν το χ πάρει την τιμή 0, το y θα πάρει την τιμή 2
Όταν το χ πάρει την τιμή 1, το y θα πάρει επίσης την τιμή 1
Και όταν το x πάρει την τιμή 2, το y θα ...

$x^{2}-4x+7-ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=0$

Για να έχει η εξίσωση μοναδική ρίζα πρέπει:

$D=0\Rightarrow -12+4ln(\frac{ax}{x^{2}+4})=0\Rightarrow ln(\frac{ax }{x^{2}+4})=3\Rightarrow e^{3}=\frac{ax }{x^{2}+4} \Rightarrow e^{3}x^{2}-ax +4e^{3}=0$(1)

Πρέπει $D_{1}=0\Rightarrow a^{2}-16e^{6}=0 ...

Να βρείτε σε πόσα μηδενικά τελειώνει ο αριθμός:

$\displaystyle{A=1821 . 1822 . 1823 . ... . 2019}$


Αρκεί να βρούμε $k$ ώστε $10^k\parallel A$

Επειδή όμως $10=2 \cdot 5$ και $2<5$ θα είναι $5^k\parallel A$

Άρα αρκεί να βρούμε πόσες φορές υπάρχει το $5$ ως παράγοντας στο $A$.

Στο ...

Το ότι η $f$ είναι γνησίως αύξουσα σημαίνει ότι για κάθε $x_1,x_2\in(0,1)$ είναι $x_1<x_2\Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$. Η αντίστροφη συνεπαγωγή αποδεικνύεται. Βέβαια στις πανελλήνιες μπορεί κάποιος να την επικαλεστεί χωρίς απόδειξη. Από αυτή τη σκοπιά για την τελευταία συνεπαγωγή στο παρακάτω

$x_1 <x ...

Καλημέρα και χρόνια πολλά.

Υπάρχουν συναρτήσεις $f,g:R\rightarrow R$ με την $g$ να μην είναι $1-1$ αλλά η σύνθεση της $g$ με την $f$ να είναι $1-1$. Σωστό ή λάθος;


Ναι, υπάρχουν. Άπειρες οι επιλογές αλλά βάζω μία με πολύ γνώριμες στους μαθητές, συναρτήσεις:

$g(x)=x^2$ και $f(x)=e^x$. Τότε ...

.
Το ζητόυμενο όριο λοιπόν από κριτήριο παρεμβολής είναι .

Να είμαι εντελώς ξεκάθαρος, αν χρησιμοποιήσουμε τον όρο σημείο καμπής και κινηθούμε σε σχολικά πλαίσια τότε:

1) Δεχόμαστε την οδηγία που βρίσκεται εδώ .

Καταγραφή.PNG

2) Δεχόμαστε ότι στον ορισμό που δίνεται στο σχολικό η η αναφορά σε διάστημα $\displaystyle \left( {\alpha ,\beta } \right)$ δεν ...

Νομίζω (χρησιμοποιώντας τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας, που είναι ο μόνος που γνωρίζω) πως η $f(x)=\left\{\begin{matrix} -x-\pi,x\in (-\infty ,-\pi ) & \\ \eta \mu x,x\in [-\pi ,\pi ) & \\ -x+\pi ,x\in [\pi ,\infty ) & \end{matrix}\right.$ ικανοποιεί την υπόθεση, όχι όμως το ζητούμενο.


Θα ...

Νομίζω (χρησιμοποιώντας τον σχολικό ορισμό της κυρτότητας, που είναι ο μόνος που γνωρίζω) πως η ικανοποιεί την υπόθεση, όχι όμως το ζητούμενο.

Έστω $y=\sqrt{x}$
Έχουμε: $\begin{Bmatrix} 6y^2+15y=4k+1\\ 6y^2-39y=12m+3 \end{Bmatrix}$
Με αφαίρεση κατά μέλη έχουμε:
$54y=4(k-3m)-2$. Άρα $y\in \mathbb{Q}$
Έστω $p,q\in \mathbb{N}$ με $(p,q)=1$ και $\frac{p}{q}=y$
Έχουμε: $\begin{Bmatrix} 78y^2+15\cdot 13y=13(4k+1)\\ 30y^2-13\cdot 15y=15(4m+1 ...

Έστω $O(0,0)$ το μέσο του $AB$. Χωρίς βλάβη $r=1$ και $A(-1,0)$ και $B(1,0)$. Έστω $T(t,\sqrt{1-t^2})$ με $t\epsilon (0,1)$. Άρα $M(\frac{t-1}{2},\frac{\sqrt{1-t^2}}{2})$. Η εφαπτομένη έχει εξίσωση $y\sqrt{1-t^2}+xt=1$. Άρα $S(\frac{1}{t},0)$. Είναι $N(\frac{t^2-t+2}{4t},\frac{\sqrt{1-t^2}}{4 ...

Αντιπαράδειγμα:

Είναι:
$DB=\sqrt{36+OB^2}$
$AD=\sqrt{36+(AB-OB)^2}$
Άρα:
$AB^2=AD^2+DB^2 \Leftrightarrow AB^2=36+(AB-OB)^2+36+OB^2
\Leftrightarrow OB^2-AB \cdot OB+36 \Leftrightarrow OB=\frac{{AB+\sqrt{AB^2-144}}}{{2}}$
Τελικά:
$(OAC)=\frac{{OC\cdot(AB-OB)}}{{2}}=\frac{1}{2}\frac{{AB+\sqrt{AB^2-144}}}{{2}}\cdot ...