Mihalis_Lambrou έγραψε: Τρί Αύγ 27, 2024 7:21 pm Τα είναι τα μέσα δύο απέναντι πλευρών ενός τετραπλεύρου. Δείξτε την ισότητα των εμβαδών .

Τα είναι διάμεσοι τριγώνων οπότε ισχύουν οι ισότητες εμβαδών που αναφέρονται κάτω από το σχήμα.
Προσθέτοντας τες μεταξύ τους προκύπτει το ζητούμενο.

Σε τρίγωνο $ABC$ με $M$ μέσο του $BC$ είναι : $\widehat {C_{}^{}} = 30^\circ \,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,\widehat {AMB} = 45^\circ $.

Δείξετε ότι : $\widehat {BAM} = 30^\circ $.


Φέρνουμε $BK\perp AC$. Αφού $\widehat{\omega }=30^{0}$ και ΚΜ διάμεσος προς υποτείνουσα είναι: $BK=KM=MB=MC ...

orestisgotsis έγραψε: Πέμ Φεβ 16, 2023 9:59 pm Πόσα ζώα από κάθε είδος πήρε μαζί του ο Μωυσής στην Κιβωτό ;

$\bigstar$ Βρείτε - προσεκτικά - τα ακρότατα της συνάρτησης : $f(x)=\ln(x+1)-\dfrac{\ln x}{x+1}$

Είναι $f'(x)=\frac{x-1}{x(x+1)}+\frac{lnx}{(x+1)^{2}}$.

Προφανής ρίζα το 1, για $x\epsilon (0,1)$ είναι $f'(x)<0$ και για $x\epsilon (1,+\infty )$ είναι $f'(x)>0$.

Οπότε μοναδικό ελάχιστο το $ln2 ...

Τα ορθογώνια τρίγωνα OΑΑ΄ και Ο´ είναι ίσα αφού ΟΑ=ΟΒ=α και οι γωνίες ΒΟΒ΄ και Α είναι ίσες, ως συμπληρωματικές της γωνίας ΑΟΑ΄.
Από το Π.Θ.

Το public και το books2u φαίνεται να το έχουν ετοιμοπαράδοτο. Βέβαια καλύτερα να κάνεις ένα τηλεφώνημα πριν το παραγγείλεις για επιβεβαίωση.

Δώστε παράδειγμα δέκα διαφορετικών ανά δύο φυσικών αριθμών που ο καθένας διαιρεί το άθροισμα των δέκα αυτών αριθμών,

(Εννοείται ότι γενικεύεται και για περισσότερους από δέκα. Ως άσκηση είναι προσιτή και σε μαθητές του Δημοτικού, αλλά πρέπει να είναι πονηροί...)


Μία δεκάδα αριθμών που ζητάμε ...

Δίδυμοι πύργοι.pngΤα ριζικά που παριστάνουν τα μήκη των πλευρών $SM$ και $TB$ , σκοπίμως δεν απλοποιήθηκαν .

α) Συγκρίνατε τα εμβαδά των δύο τριγώνων ... β) Εξετάστε αν οι $AS , BT$ είναι παράλληλες .

γ) Σχεδιάστε το τμήμα $ST$ και υπολογίστε το μήκος του με προσέγγιση χιλιοστού .


α) Από τον ...

Καλημέρα σας. Δίνεται τετράγωνο $ABCD$ εγγεγραμμένο σε κύκλο $(O,R)$. Αν $M$ είναι ένα σημείο του ελάσσονος τόξου $AD$, να αποδειχτεί η σχέση: $\displaystyle M{B^2} - MA \cdot MC = 2{R^2}$
Θερμή παράκληση να δοθούν λύσεις με υποχρεωτικό περιορισμό την ύλη που διδάσκεται στη Β λυκείου!


Από τα ...

Λύστε την εξίσωση : $\dfrac{\sqrt[2]{x-2}}{2}+2x=\dfrac{x^2}{2}+2$ , με τουλάχιστον τρεις τρόπους .

Δεκταί μόνον σοβαραί λύσεις . Εντάξει , γράψτε αυτήν που θα σας "κάτσει" πρώτη :lol:


α) (Όμοιος τρόπος με παραπάνω) Για $x\geq2$ έχουμε τις ισοδυναμίες:

$\sqrt{x-2}+4x=x^{2}+4 \Leftrightarrow ...

Υπογράφω την παραπάνω ανακοίνωση. Νίκος Κρουσουλούδης, Μαθηματικός.

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμου.png

Σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$.

Για σημείο $S$ της πλευράς $DC$ ισχύουν ταυτόχρονα:

1. $SM \bot MA$ και

2. $SA = 21\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = 13$

Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου $ABCD$

Δεκτές ...

Μέγιστο εμβαδόν παραλληλογράμου.png

Σε παραλληλόγραμμο $ABCD$ έστω $M$ το μέσο της πλευράς $BC$.

Για σημείο $S$ της πλευράς $DC$ ισχύουν ταυτόχρονα:

1. $SM \bot MA$ και

2. $SA = 21\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,SD = 13$

Να βρεθεί το μέγιστο εμβαδόν του παραλληλογράμμου $ABCD$

Δεκτές ...

Δώστε την συντομότερη αλλά προσεκτικότερη λύση για την εξίσωση : $x^2-1=\sqrt{x+1}$ .

Το έπαθλο , πάντως , θα το κερδίσει η "πονηρότερη" :ohmy:


Η εξίσωση έχει νόημα για $x\epsilon A= \left \{ -1 \right \} \cup [1,+\infty )$. To $-1$ είναι προφανής ρίζα, ενώ για $x\epsilon = [1,+\infty ...

Στις $8$ το πρωί ένας ποδηλάτης αναχωρεί από ένα σημείο $A$ και, κινούμενος με σταθερή ταχύτητα, κατευθύνεται σε ένα σημείο $B.$

Λίγο αργότερα ένας πεζός αναχωρεί από το $B$ και κατευθύνεται προς το $A,$ κινούμενος επίσης με σταθερή ταχύτητα. $6$ ώρες μετά

την αναχώρηση του πεζού, ο ποδηλάτης ...

Τμήμα υποτείνουσας.pngΣτο ορθογώνιο τρίγωνο $\displaystyle ABC$ είναι ακόμη γνωστό ότι : $AS^2+AT^2=65$ . Υπολογίστε το $x(=ST)$ .



Χωρίς χρήση Θ. διαμέσων ( αφού είναι εκτός ύλης ... ), με Γ.Π.Θ.
.
Τμήμα υποτείνουσας.png
.
Από Γ.Π.Θ. στα τρίγωνα $ABT,ASC$ έχουμε: $AT^2=AB^2+BT^2-2BT\cdot BK ...

Διτοπία.pngΗ ευθεία $y=-2$ τέμνει τον κύκλο $x^2+y^2=9$ στα σημεία $B,C$ . Σημείο $A$ κινείται

στο μείζον τόξο $\overset{\frown}{BC}$ . Βρείτε τους γεωμετρικούς τόπους ( την καρτεσιανή τους έκφραση ) :

α) του μέσου $M$ της πλευράς $AB$ ... β) της προβολής $S$ του σημείου $M$ επί της $AC ...

Ριζική διαφορά.pngΣτο τετράπλευρο του σχήματος η $BC$ διαφέρει από την $AB$ κατά $3$ .

Κατά πόσο διαφέρει από την $DC$ η - προφανώς μεγαλύτερη - $AD$ ;


Ριζική διαφορά.png
.
Αν $N$ σημείο της $BC$ με $BN=BA=a$ τότε οι οξείες γωνίες του $ABN$ είναι από $30^o$ και το $ADK$ ισόπλευρο.

Έτσι, $DA ...

KARKAR έγραψε: Παρ Νοέμ 16, 2018 10:54 am Να λυθεί η εξίσωση :

Για από ιδιότητες αναλογιών καταλήγουμε στην παρατήρηση του κ.Μιχάλη:

Υπολογίστε την τιμή της παράστασης : $\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}-\sqrt[3]{\sqrt{5}-2}$

Έστω $a=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2} $ και $b=\sqrt[3]{\sqrt{5}-2} $ . Τότε, $a \cdot b=1$ και $a^3-b^3=4$.

Εξάλλου: $(a-b)^3=a^3-b^3-3ab(a-b)\Leftrightarrow (a-b)^3=4-3(a-b)$ $(1)$.

Θέτοντας $a-b=k$ στην $(1)$, έχουμε ...