Αν p:ένας πρώτος διαιρέτης του n!+1,τότε p δε διαρεί το n!.Άρα δεν είναι p<n,διότι τότε p διαιρεί το p!,και το p! θα διαιρεί το n!.Αφού p=n,δεν πιάνει,πρέπει p>n,και εξ ορισμού p<n!+1

Η λύση στηρίζεται σε μερικά απλά λημματάκια.Να αναφέρω κανένα από αυτά?

Αν ήταν d=(mn,m+n)>1,τότε ο d θα είχε πρώτο διαιρέτη p.Άρα p διαιρεί το μν,άρα p διαιρεί το
μ ή το ν.Αφού δ διαιρεί το μ+ν,και ο p θα διαιρεί το μ+ν άρα τελικά θα διαιρεί και τους δυό
Άρα d>p ή d=p,άτοπο.
Άρα δ=1

Να λυθεί η εξής εκθετική ισοδυναμία α^χ ισο΄υ΄πόλοιπο -1 mod n όπου (α,n)=1 και α,n θετικοί ακέραιοι(εννοείται και ο x θετ.ακερ)

Το μήνυμα ήταν στα Αγγλικά και διαγράφτηκε. Μπορεί να επανέλεθει από τον ενδιαφερόμενο στην γλώσσα που χρησιμοποιούμε στον ιστότοπο μας που είναι τα Ελληνικά.
Παρεπιπτόντως, τι ακριβώς σημαίνει Α.Ε.Ι?

Μπράβο.Εγώ σκεφτόμουν πιο πολύ την δική σου λύση Δημήτρη

Συγχαριτήρια,ωστόσο.Έτσι λύνεται ουσιαστικά η α^χ-β^ψ=k με χ,ψ,k,σχετικά μικρά

Ωστόσο,δε χρείαζεται να θεωρήσεις mod8 το x.Μπορείς να πείς ότι αν ήταν χ:άρτιος τότε το
χ^2+2 θα διαιρείται με το 2 αλλά όχι με το 4.Άρα το y^3 διαρείται με το 2 αλλά όχι με το 8,άτοπο.Άρα x:περιττός και συνεχίζουμε όπως είπες ήδη

Ήταν λανθασμένη η διατύπωση

Μία σωστή:Να δειχθεί ότι το άθροισμα των φ όταν ο k διατρέχει το σύνολο των διαρετών του
n δίνει το n.Δείξτε επίσης ότι μία συνάρτηση που ικανοποεί την συνθήκη αυτή θα είναι μόνο η φ

Κ.Δημήτρη,ασφαλώς ισχυεί όταν οι πρώτοι είναι μικρότεροι ή ίσοι με το 37.Άρα συνεπάγεται ότι αφού ο (ν-2)-πρώτος είναι μεγαλύτερος του 25/36 του ν-οστού πρώτου και ο (ν-1)-πρώτος είναι μεγαλύτερος του 5/6 του ν-οστού πρώτου το άθροισμα τους σαφώς τον ξεπερνάει το ν-οστό πρώτο,άρα ισχυεί το θεώρημα ...

Να δώσω μία υπόδειξη?

Εντυπωσιακή η λύση σας κ.Ιωσηφίδη

x^3=y^2 +2 με x,y ανήκουν στο Ζ

Έχει τουλάχιστον κανείς μία ιδέα,οποιαδήποτε?

Να δειχθεί ότι ο λόγος του παραγοντικού ενός αριθμού(φυσικού)επί έναν πρώτο[εννοείται ότι ο πρώτος είναι σε γινόμενο με το n,μέσα στο παραγοντικό],προς το παραγοντικό του αριθμού,δίνει ένα αριθμό του οποίου ο εκθέτης του πρώτου στον αριθμό αυτό είναι ακριβώς n

Να αποδειχθεί ότι κάθε πρώτος είναι μικρότερος από το άθροισμα των 2 προηγουμένων του,εκτός από το 5=3+2 και 3=2+1 (Κανονικά,το 1 θα έπρεπε να θεωρείται πρώτος.Αν θέλουμε unique factorization,ας ορίσουμε πρώτο(στο k(1)) έναν αριθμό με ακριβώς 2 διαιρέτες)