ΑΣΚΗΣΗ 712:
Να βρεθούν οι θετικοί πραγματικοί αριθμοί $a,b$ για τους οποίους ο αριθμός

$\displaystyle{\frac{\sqrt{2}+\sqrt{a}}{\sqrt{3}+\sqrt{b}}}$

είναι ρητός.

http://eisatopon.blogspot.gr/2013/04/blog-post_4737.html

$\displaystyle{a=3 \ , \ b=2}$.

Σε κάθε διαφορετική περίπτωση ο αριθμός ...

Και μία ακόμα λύση, που εξηγεί την σωστή απάντηση του stergios

Μας έχουνε δώσει ότι $\displaystyle{35x+4y7=}$πολλαπλάσιο του $\displaystyle{36}$. Επομένως:

$\displaystyle{300+50+x+400+10y+7=}$ πολλαπλάσιο του $\displaystyle{36}$. Δηλαδή: $\displaystyle{x+10y+757=36k\Rightarrow}$

$\displaystyle{x ...

Άσκηση 21
Η παραβολή $y=-x^2+2x+8$ , έχει κορυφή το σημείο $A$ και τέμνεται από την ευθεία

$y=-x-2$ , στα σημεία $B$ και $C$ . Υπολογίστε το εμβαδόν του τριγώνου $\displaystyle ABC$ .


Η κορυφή είναι $\displaystyle{A(1,9)}$. Ακόμα άμα λύσουμε το σύστημα των εξισώσεων της παραβολής και της ...

Για την Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ και Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Στον πίνακα ήταν γραμμένος ένας πενταψήφιος αριθμός. Οι μαθητές έπρεπε να διαιρέσουν τον αριθμό αυτό με το $4$ και να βρουν το υπόλοιπο. Ο Ανδρέας, για να προβληματίσει τους συμμαθητές του, έσβησε το ψηφίο των χιλιάδων και στη θέση του έγραψε το γράμμα $y$. Οι ...

Άσκηση 20
Ένας ποδηλάτης , τρέχοντας με σταθερή ταχύτητα , διατρέχει μια απόσταση $24 km$ .

Αν μπορούσε να τρέξει με ταχύτητα κατά $6 km/h$ μεγαλύτερη , θα ολοκλήρωνε τη

διαδρομή σε χρόνο μικρότερο κατά $8 min$ . Ποια ήταν η ταχύτητα του ποδηλάτη ?


Άμα $\displaystyle{v}$ Km/h είναι η ...

ΓΙΑ ΤΗΝ Α και Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ: : Μια Λερναία Ύδρα έχει $5$ κεφάλια. Αν της κόψουν ένα κεφάλι, τότε φυτρώνουν $5$ καινούρια. Ο Ηρακλής της έκοψε συνολικά $6$ κεφάλια. Πόσα κεφάλια είχε στο τέλος η Λερναία Ύδρα;

Α) $25$ , Β) $28$ , Γ) $29$ , Δ) $30$ , Ε) $35$

(Από τον διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ", 2012 ...

$\displaystyle{(a+b)^2 -2ab=(x+y)^2 -2xy\Rightarrow ab=xy\Rightarrow 2ab=2xy}$ και επειδή $\displaystyle{a^2 +b^2 =x^2 +y^2}$:
$\displaystyle{a^2 +b^2 -2ab=x^2 +y^2 -2xy\Rightarrow (a-b)^2 =(x-y)^2\Rightarrow |a-b|=|x-y|}$
Θα διακρίνω δύο περιπτώσεις:
(α) $\displaystyle{a-b=x-y}$. Eπειδή είναι ακόμα ...

AΣΚΗΣΗ 669:
α) Να συγκρίνετε τους αριθμούς

$\displaystyle{a=1+3+3^2+...+3^{148}+3^{149}}$ και $\displaystyle{b=1+5+...+5^{99}.}$


$\displaystyle{a=\frac{1.3^{150}-1}{3-1}=\frac{3^{150}-1}{2}}$

$\displaystyle{b=\frac{1.5^{100}-1}{5-1}=\frac{5^{100}-1}{4}}$

Άμα υποθέσω ότι $\displaystyle{a>b ...

ΓΙΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ και Α ΛΥΚΕΙΟΥ : Ποιο είναι το τελευταίο μη μηδενικό ψηφίο του αριθμού:

$\displaystyle{2^{55}.3^{4}.5^{53}}$, όταν γραφεί στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης;

Α) $1$ , Β) $2$ , Γ) $4$ , Δ) $6$ , Ε) $9$

(Από τον διαγωνισμό "ΚΑΓΚΟΥΡΟ", 2012)

$\displaystyle{2^{55}.3^4 .5^{53}=2^{53}.2^2 ...

ΑΣΚΗΣΗ 661
Βρείτε όλους τους θετικούς ακεραίους μικρότερους του $1000$ τέτοιους ώστε ο κύβος του αθροίσματος των ψηφίων τους να ισούται με το τετράγωνο του αριθμού.




Άμα ο αριθμός είναι τριψήφιος, τότε θα αποδείξω ότι δεν γίνεται να ισχύει αυτό που ζητάει η άσκηση.
Γιατί άμα ονομάσω ...

AΣΚΗΣΗ 668:
Έστω $a ,b$ θετικοί αριθμοί με άθροισμα $1.$ Αν οι αριθμοί $a^3$ και $b^3$ είναι ρητοί, τότε και οι $a, b$ είναι ρητοί.

Επειδή οι αριθμοί $\displaystyle{a^{3} , b^{3}}$ είναι ρητοί τότε και ο αριθμός $\displaystyle{a^{3}+b^{3}}$ είναι ρητός και επομένως και ο

$\displaystyle{(a+b)^{3 ...

Για το Β: Άμα υποθέσω ότι υπάρχουνε $\displaystyle{x_1 , x_2 \in R}$ με $\displaystyle{x_1 <x_2}$ έτσι ώστε να είναι $\displaystyle{f^{''}(x_1 ).f^{''}(x_2 )<0}$,

τότε επειδή $\displaystyle{f(x)f^{''}(x)>0}$, (διότι έχει αποδειχθεί στο (Α) ότι $\displaystyle{f^{'}>0}$), άρα $\displaystyle{f(x_1 )f ...

1. Δίνονται τρία μη συνευθειακά σημεία στο επίπεδο.
Βρείτε ευθεία του επιπέδου από την οποία τα τρία σημεία να απέχουν ίσες αποστάσεις.
Πόσες τέτοιες ευθείες του επιπέδου υπάρχουν;


Άμα ονομάσω τα σημεία με τα γράμματα $A,B,C$, τότε δημιουργώ ένα τρίγωνο $ABC$. ΟΙ ευθείες που συνδέουνε τα μέσα ...

Nομίζω ότι η απάντηση είναι . Aλλα κάπου δεν μου κολλάει η φράση "το πολύ πρώτου"". Δηλαδή. θα μπορούσε να είναι και πάνω από πρώτου βαθμού; Πιστεύω ότι όχι.

ΑΣΚΗΣΗ 602 : (α) Να αποδείξετε ότι: Αν $\displaystyle{x,y>0}$ με $\displaystyle{x\neq y}$, τότε: $\displaystyle{\sqrt{xy}<\frac{x+y}{2}}$

(β) Να αποδείξετε ότι: $\displaystyle{\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}+ . . . +\sqrt{2010}<\frac{2010.2013}{4}}$


(β) Θα χρησιμοποιήσω το (α), το οποίο έχει ...

Α.8. Εννέα καρέκλες σε ευθεία γραμμή πρόκειται να καλυφθούν από $\displaystyle{6}$ μαθητές και $\displaystyle{3}$ καθηγητές $\displaystyle{A, B, \Gamma}$.
Οι καθηγητές φθάνουν πριν από τους μαθητές και αποφασίζουν να επιλέξουν τις καρέκλες τους έτσι,
ώστε κάθε καθηγητής να έχει αμέσως δεξιά του ...

Α.5. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις $\displaystyle{8}$ επί $\displaystyle{2\sqrt 2}$ έχει το ίδιο κέντρο μ' ένα κύκλο ακτίνας $\displaystyle{2}$.
Το κοινό εμβαδό των δύο γεωμετρικών σχημάτων είναι

α) $\displaystyle{2\pi}$ β) $\displaystyle{2\pi +2}$ γ) $\displaystyle{4\pi -4}$ δ ...

$\displaystyle{=lim_{x\rightarrow 0}\frac{2e^{2x}-2\sigma \ypsilon \nu 2x -4x}{\frac{1}{2\sqrt{1+8x^3}}.24x^2=}$

$\displaystyle{lim_{x\rightarrow 0}[\frac{e^{2x}-\sigma \ypsilon \nu 2x-2x}{6x^2}.\sqrt{1+8x^3}}]}$

Όμως: $\displaystyle{lim_{x\rightarrow 0}\sqrt{1+8x^3}=1}$ και $\displaystyle{lim_{x ...

Επειδή είναι αναπάντητο από τους μαθητές:

$\displaystyle{x=4p+3 , y=4q+2 , p,q \in N}$

a) $\displaystyle{x+y=4p+4q+5=4p+4q+4+1=4(p+q+1)+1}$. Επομένως το υπόλοιπο είναι $\displaystyle{1}$

β) $\displaystyle{xy=16pq+8p+12q+6=16pq+8p+12q+4+2=4(4pq+2p+3q+1)+2}$. Το υπόλοιπο είναι $\displaystyle{2}$

γ ...

4. (α) Να αποδείξετε ότι κάθε εξαψήφιος θετικός ακέραιος της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία, διαιρείται με το $\displaystyle{3}$.
(β) Να προσδιορίσετε τους εξαψήφιους θετικούς ακέραιους της μορφής $\displaystyle{A = ababab}$ , όπου $\displaystyle{a,b}$ ψηφία ...