mathematica.gr

nicolae

Θα θυμίσω ότι η άσκηση απευθύνεται σε μαθητές γυμνασίου...

nicolae

Αν $0<\beta<\alpha\leq4$ και $2\alpha\beta\leq3\alpha+ 4\beta,$ να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης $\alpha^2+\beta^2$

nicolae

Θεωρούμε το άθροισμα $\displaystyle S=\frac{1}{1\cdot1\cdot3}+\frac{1}{2\cdot3\cdot5}+\frac{1}{3\cdot5\cdot7}+\frac{1}{4\cdot7\cdot9}+\cdots+\frac{1}{100\cdot199\cdot201}$
Να συγκρίνετε το

με το $\displaystyle\frac{2}{3}$

nicolae

Ας μου επιτραπεί ο αντίλογος :D Έχοντας μία συνάντηση με τον Λεωνίδα και σύντομη συζήτηση, περί λάτεξ μου δημιουργήθηκαν οι εξής απορίες: 1)Μπορούμε να γράψουμε κείμενα ΄και μαθηματικά σύμβολα σε ένα έγγραφο, όπως μπορούμε στο word?Τι κατάληξη έχουν αυτά τα αρχεία; Ναί, μπορείς να γράψεις ότι είδους...

nicolae

Ισοδύναμα είναι:
$\displaystyle a+u_{\alpha}\geq\beta+u_{\beta}\Leftrightarrow a+\frac{2E}{\alpha}\geq\beta+\frac{2E}{\beta}\Leftrightarrow (\alpha-\beta)(\alpha\beta-2E)\geq0,$ που ισχύει, αφού $\alpha>\beta$ και $\alpha\beta\geq\alpha\beta\eta\mu\Gamma=2E$

nicolae

Αν $z_1, z_2,...,z_n\in\mathbb{C},$ θεωρούμε $\displaystyle z_0=\frac{z_1+z_2+z_3+\cdots+z_n}{n}.$ Για κάθε $z\in\mathbb{C},$ να αποδείξετε ότι:
$|z_0-z_1|^2+|z_0-z_2|^2+\cdots+|z_0-z_n|^2\leq|z-z_1|^2+|z-z_2|^2+\cdots+|z-z_n|^2$

nicolae

Συμφωνώ απόλυτα. Αρκεί όπως τονίζουν οι υπόλοιποι συνομιλητές, να μην υπάρχει κριτική είτε θετική είτε αρνητική και να περιοριστεί μόνο στην ενημέρωση, στο τι περιέχει δηλαδή ένα βιβλίο.

nicolae

Σήμερα βρήκα σε επόμενο περιοδικό, την επίσημη λύση της άσκησης αυτής. Απολαύστε την και εκτοξευθείτε στο διάστημα όπως και εγώ!! Καταρχήν είναι: $a^2=b^2+c^2\geq2bc$ οπότε είναι $a\geq\sqrt{2bc}$ Επομένως, σύμφωνα με την ανισότητα Cauchy (AM-GM), είναι: $\displaystyle P=\frac{b^2(c+a)+c^2(b+a)}{abc...

nicolae

Πράγματι ωραίες λύσεις σε μια ωραία ανισότητα

Μπορεί να απλοποιηθεί, ως εξής:
$\displaystyle\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2}{2}\geq\displaystyle\frac{(\sqrt{a}-\sqrt{b})^2(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2(3a+b)(a+3b)}{4(a+b)(a^2+6ab+b^2)}$

nicolae

Απόδειξη 3

Για κάθε $n\in\mathbb{N},$ με n>1

είναι $\displaystyle\frac{1}{n^2}<\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}$

nicolae

Απομένει να αποδείξουμε ότι $\displaystyle\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{100^2}<1$

nicolae

Και μια ωραία ανισότητα, για τους λάτρεις του είδους:

Αν a,b>0,

να αποδείξετε ότι $\displaystyle\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\geq\frac{(a-b)^2(3a+b)(a+3b)}{8(a+b)(a^2+6ab+b^2)}\geq0$

nicolae

Να αποδείξετε ότι:
$\displaystyle 98<\frac{3}{4}+\frac{8}{9}+\frac{15}{16}+\cdots+\frac{9999}{10000}<99$

nicolae

Θεωρούμε τους αριθμούς
$A=\displaystyle\left(1-\frac{1}{1+2}\right)\left(1-\frac{1}{1+2+3}\right)\cdots\left(1-\frac{1}{1+2+3+\cdots+n}\right)$ και $\displaystyle B=\frac{n+2}{n}$
Να υπολογίσετε τον αριθμό $\displaystyle\frac{A}{B}$

nicolae

Να υπολογίσετε τις πλευρές τριγώνου ΑΒΓ, για το οποίο είναι $\widehat{A}=105^0, \widehat{B}=45^0$ και η περίμετρός του είναι $\sqrt{27}+\sqrt{18}+9$

nicolae

Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς x,y

για τους οποίους είναι:
$\displaystyle\frac{1}{x+2010}+\frac{2011}{y+2011}=1$ και $x-y\geq1$

nicolae

Ισοδύναμα έχουμε: $\displaystyle\sum\frac{a^2+b^2}{a^2+b^2+1}\geq\sum\frac{a+b}{a^2+b^2+1}\Leftrightarrow\sum\frac{a^2+b^2+1-1}{a^2+b^2+1}\geq\sum\frac{a+b}{a^2+b^2+1}\Leftrightarrow\sum\left(1-\frac{1}{a^2+b^2+1}\right)\geq\sum\frac{a+b}{a^2+b^2+1}\Leftrightarrow3\geq\sum\frac{a+b+1}{a^2+b^2+1}$ Απ...

nicolae

Αγαπητέ Νικόλα, δεν είχα καμμία αμφιβολία ότι η άσκηση όντως ήταν από περιοδικό για Γυμνάσιο, όπως είχες προαναφέρει. Απλά εξέφρασα τη γνώμη ότι δεν αντιστοιχεί σε δυνατότητες μαθητών Γυμνασίου και επιπλέον ζήτησα τη γνώμη πάνω σ΄αυτό όσων συμμετείχαν στη συζήτηση. Υπάρχει στο περιοδικό αυτό "μαθητ...

nicolae

Και μία ισχυρότερη:
Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ είναι:
$\displaystyle\sum\frac{1}{\sin^2A}=\frac{2R}{\rho}\geq\frac{4\sqrt{3}\tau}{9\rho}\geq4$

nicolae

Επιτρέψτε μου να αμφιβάλω αν η άσκηση είναι για μαθητές ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ (όσο δυνατοί κι αν είναι). Από το διάλογο που προηγήθηκε πιστεύω αυτό είναι ξεκάθαρο! Φιλικά Γιώργος Ρίζος Φίλε Γιώργο, η άσκηση αλιεύθηκε από ένα Βιετναμέζικο περιοδικό που είναι αντίστοιχο του δικού μας ''Ευκλείδη Α''. Δεν έχω scan...

Η αναζήτηση βρήκε 56 εγγραφές

Re: Μέγιστη τιμή

Μέγιστη τιμή

Σύγκριση αθροίσματος με κλάσμα

Re: latex vs mathtype

Re: Aνισότητα σε τρίγωνο.

Ανισότητα με μιγαδικούς

Re: NEA BIBΛΙΑ

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: Ανισότητα

Re: 98<99

Re: 98<99

Ανισότητα

98<99

Πηλίκο Α:B

Βρείτε τις πλευρές τριγώνου

Φυσικοί αριθμοί

Re: Ανισότητα - Διδακτική (για μαθήματα Ολυμπιάδων)

Re: Ελάχιστη τιμή

Re: τριγωνομετρική ανισότητα...

Re: Ελάχιστη τιμή