Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

pito · #1

Ήθελα να ρωτήσω αν μια συνάρτηση

ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θ.Rolle (

συνεχής στο $[a,\beta ]$ , παραγωγίσιμη στο $(a,\beta )$ και $f(a)=f(\beta )$ ,) αφού θα ισχύει $f'(x_{o})=0$ , μπορούμε με σιγουριά να πούμε ότι η

αλλάζει εκατέρωθεν του $x_{o}$ μονοτονία ( ώστε να μπορεί να ισχύει και $f(a)=f(\beta )$ ) και άρα το $f(x_{o})$ είναι τοπικό ακρότατο της

;;

#2

pito έγραψε:Ήθελα να ρωτήσω αν μια συνάρτηση ικανοποιεί τις προυποθέσεις του θ.Rolle ( συνεχής στο $[a,\beta ]$ , παραγωγίσιμη στο $(a,\beta )$ και $f(a)=f(\beta )$ ,) αφού θα ισχύει $f'(x_{o})=0$ , μπορούμε με σιγουριά να πούμε ότι η αλλάζει εκατέρωθεν του $x_{o}$ μονοτονία ( ώστε να μπορεί να ισχύει και $f(a)=f(\beta )$ ) και άρα το $f(x_{o})$ είναι τοπικό ακρότατο της ;;

Όχι δεν ισχύει: Πάρε την $x^3, \, -1\le x\le 1$ που στο

έχει παράγωγο

αλλά δεν αλλάζει μονοτονία. Μετά επέκτεινέ την αριστερά και δεξιά, ώστε να τμήσει τον άξονα των

. Τώρα ισχύουν τα παραπάνω αλλά όχι το συμπέρασμα. Χειροποιαστό παράδειγμα είναι η x^3(x^2-1)

.

M.

pito · #3

Kύριε Μιχάλη , μάλλον κάτι κατάλαβα λάθος. Όταν λέτε να επεκτείνω την $f(x)=x^{3}$ μέχρι να τμήσει τον χχ' εκτός του O(0,0)

, εννοείτε να την κάνω αύξουσα αντί για γνησίως αύξουσα;;

Ακόμη για τις συναρτήσεις που είναι αύξουσες ή φθίνουσες ( όχι γνησίως), ισχύει το Rolle χωρίς να ισχύει η ύπαρξη ακροτάτου;;; Μπερδεύτηκα

Ιστοσελίδα · #4

Με την άδεια του Μιχάλη...
Για τη συνάρτηση $f\left( x \right) = {x^3}\left( {{x^2} - 1} \right)$ ικανοποιούνται οι προυποθέσεις του θ Rolle στο $\left[ { - 1,1} \right]$ και ισχύει $f'\left( 0 \right) = 0$ όμως στο μηδέν δεν παρουσιάζει ακρότατο.
Mίλτος

makisman · #5

θυμαμαι το συγκεκριμενο θεμα εχει ξανασυζητηθεί αλλά δε θυμαμαι που. Ο Pito νομιζω ρωτάει κατα πόσο το $x_{o}$ του Rolle είναι ακρότατο και όχι αν αν υπάρχουν άλλα $x_{o}$ με την ίδια ιδιότητα να μηδενίζουν την παράγωγο .Σύμφωνα με μια απόδειξη του rolle το συμπέρασμα προκύπτει από θεωρημα μεγιστης ελαχίστης τιμής οποτε εμπλέκεται η εννοια του ακροτάτου .

Νασιούλας Αντώνης · #6

makisman έγραψε:θυμαμαι το συγκεκριμενο θεμα εχει ξανασυζητηθεί αλλά δε θυμαμαι που. Ο Pito νομιζω ρωτάει κατα πόσο το $x_{o}$ του Rolle είναι ακρότατο και όχι αν αν υπάρχουν άλλα $x_{o}$ με την ίδια ιδιότητα να μηδενίζουν την παράγωγο .Σύμφωνα με μια απόδειξη του rolle το συμπέρασμα προκύπτει από θεωρημα μεγιστης ελαχίστης τιμής οποτε εμπλέκεται η εννοια του ακροτάτου .

Πράγματι. Όταν είχα καθίσει μια φορά να αποδείξω το Θ. Rolle (επειδή δεν υπάρχει η απόδειξη στο σχολικό) χρησιμοποίησα τα παραπάνω εργαλεία.
Δηλαδή Θ.Μ.Ε.Τ. σε συνδυασμό με το Θ. Fermat. Η ισότητα στα άκρα ουσιαστικά μας εξασφαλίζει, στην περίπτωση μη σταθερής συνάρτησης, ότι ένα τουλάχιστον από τα m,M

του Θ.Μ.Ε.Τ. θα είναι στο εσωτερικό. Έτσι απ'το Θ. Fermat προκύπτει το $\xi$ του Rolle.
Τώρα στην περίπτωση της σταθερής έχουμε m=M

και μπορούμε να διαλέξουμε τυχαίο σημείο του ανοικτού διαστήματος για το οποίο να μηδενίζεται η παράγωγος και για το οποίο να μπορούμε να πούμε ότι είναι ακρότατο.
Άρα σύμφωνα με αυτήν την απόδειξη μπορούμε να πούμε ότι το $\xi$ του Rolle είναι θέση τοπικού ακρότατου.
Βέβαια κάποιος θα μπορούσε να πει ότι το εν λόγω θεώρημα μας εξασφαλίζει τουλάχιστον ένα $\xi$ που μηδενίζει την παράγωγο αλλά όχι κάποιο συγκεκριμένο.
Δηλαδή ότι είναι αυθαίρετο να πούμε ότι αυτό το σημείο μηδενισμού της παραγώγου είναι το $\xi$ Rolle και όχι το άλλο.
Το μόνο που μπορώ να εκφράσω με κάποια σιγουριά είναι ότι σύμφωνα με την παραπάνω απόδειξη το $\xi$ του Rolle είναι θέση Τ.Α.

Ελπίζω να μην υποπίπτω σε κάποια πλάνη γιατί τα παραπάνω τα γράφω από μνήμης, άρρωστος και έχοντας μόλις ξυπνήσει

Καλό μεσημέρι

KARKAR · #7

Η προηγηθείσα συζήτηση : εδώ

Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Re: Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Re: Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Re: Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Re: Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Re: Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Re: Rolle και ύπαρξη ακροτάτου

Μέλη σε σύνδεση