ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ*.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, αναρτώ παρακάτω, μία Κατασκευή την οποία δεν έχω συναντήσει, όμως δεν πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
10ι(191). Δίνεται ευθεία και τα διατεταγμένα σημεία της .
Στην ευθεία να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι: =..


Σχόλια.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 10ι(191) τόμος 10, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, αναρτώ παρακάτω, μία Κατασκευή την οποία δεν έχω συναντήσει, όμως δεν πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου λύση, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
10ι(191). Δίνεται ευθεία και τα διατεταγμένα σημεία της .
Στην ευθεία να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι: =..


Σχόλια.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 10ι(191) τόμος 10, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 113, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω τη λύση του παραπάνω Προβλήματος 10ι(191), .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, αναρτώ παρακάτω, μία Κατασκευή την οποία δεν έχω συναντήσει, όμως δεν πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου απάντηση, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
11(22). Δίνεται ευθεία και η διατεταγμένη τετράδα σημείων της .
Στην ευθεία να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι: = . .


Σχόλια.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(22) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας, αναρτώ παρακάτω, μία Κατασκευή την οποία δεν έχω συναντήσει, όμως δεν πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους λύσεις. Δική μου απάντηση, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Κατασκευή αυτή έχει ως εξής:
11(22). Δίνεται ευθεία και η διατεταγμένη τετράδα σημείων της .
Στην ευθεία να ορισθεί σημείο , για το οποίο να είναι: = . .


Σχόλια.
Την παραπάνω Κατασκευή, καταχώρησα στην παράγραφο 11(22) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
επειδή η λύση της παραπάνω Κατασκευής 11(22) είναι παρόμοια, (με μικρές διαφορές), με εκείνη της παραπάνω Κατασκευής 10ι(190), που έχω δώσει παραπάνω με το συνημμένο μου 109, δική μου λύση της Κατασκευής αυτής 11(22), δε θα αναρτήσω εδώ, εκτός αν κριθεί σκόπιμο, ή αν μου ζητηθεί.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:
11(19). Σε ευθεία θεωρούμε την διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων της .
Να αποδειχθεί ότι, αν για σημείο , το οποίο ανήκει στο τμήμα , αληθεύει η σχέση:
. . =1,
τότε και το είναι σταθερό. Το ίδιο ισχύει και για σημείο , που βρίσκεται εκτός του .

Σχόλια.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(19) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:
11(19). Σε ευθεία θεωρούμε την διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων της .
Να αποδειχθεί ότι, αν για σημείο , το οποίο ανήκει στο τμήμα , αληθεύει η σχέση:
. . =1,
τότε και το είναι σταθερό. Το ίδιο ισχύει και για σημείο , που βρίσκεται εκτός του .

Σχόλια.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(19) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 114, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(19), .
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΣΥΝΑΡΠΑΣΤΙΚΕΣ
Επεκτάσεις Θεωρημάτων από Ευθεία και σε Κύκλο.


Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω τη χαρά να σας προτείνω στο εξής, για απόδειξη, μια σειρά από φανταστικές, αξιοζήλευτες θα έλεγα, όμως δύσκολες, όχι μόνο για την απόδειξή τους, αλλά κυρίως για την επινόησή τους και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω, επεκτάσεις, γνωστών Θεωρημάτων, αλλά και Προτάσεων που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, οι οποίες αναφέρονται σε τετράδες συνευθειακών σημείων και όχι μόνο και οι οποίες προέκυψαν μετά από σχετική μελέτη.
Εδώ, για τα Θεωρήματα και τις Προτάσεις αυτές, θα αποδείξουμε ότι αληθεύουν και όταν τα σημεία αυτά είναι ομοκυκλικά.
Ήδη, δύο τέτοιες Προτάσεις μου, έχω δημοσιεύσει στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο», τεύχος 13, σελίδα 36 και αφορούν στην επέκταση του γνωστού μας Θεωρήματος Πάππου, που αφορά τις τομές δεσμών τεσσάρων και τριών ακτινών από ευθείες, σε τομές από κύκλο. Μάλιστα την δεύτερη από τις παραπάνω επεκτάσεις, έχω αναρτήσει ΕΔΩ, στην εργασία μου «Αρμονικά Εξάγωνα» [Πρόταση 2 α(45), λήμμα 3 § 4γ].

Αρχίζουμε με την παρακάτω, πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, επέκταση και σε κύκλο, της Πρότασης 10ι(200), που έχω αναρτήσει παραπάνω και η οποία αναφέρεται σε σημειοσειρά [Αν θέλει κάποιος να πεισθεί, για την αντιστοιχία των Προτάσεων 10ι(44) και 10ι(200), αρκεί να συγκρίνει τα σχήματά τους].
Πρόκειται, όπως θα διαπιστώσετε και εσείς για δύσκολη επέκταση όχι μόνο για την απόδειξή της, αλλά κυρίως για την σύλληψή της. Όμως προτείνεται στους φίλους Γεωμέτρες να προσπαθήσουν για τη λύση της, καθώς, αν επιτύχουν (απόδειξή της) θα αμειφτούν πλούσια Γεωμετρικά.
Δική μου λύση , θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η συναρπαστική αυτή Πρόταση, αναφέρεται σε επέκταση και σε κύκλο της Πρότασης 10ι(200), πρόκειται δηλαδή, όπως θα δούμε, για αρμονική κυκλική ενέλιξη και έχει ως εξής:
10ι(44). Δίνεται κύκλος ή και η τετράδα των διατεταγμένων σημείων του [Πρόκειται δηλαδή για δύο ζεύγη σημείων και , που δεν χωρίζονται ( δηλαδή οι , δεν τέμνονται μέσα στον κύκλο)].
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ζεύγος σημείων του κύκλου , τα οποία χωρίζουν αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και , ή για τα οποία τα τετράπλευρα , ' είναι αρμονικά ή ότι είναι: =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 10Ι(44) τόμος 10, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΣΥΝΑΡΠΑΣΤΙΚΕΣ
Επεκτάσεις Θεωρημάτων από Ευθεία και σε Κύκλο.


Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω τη χαρά να σας προτείνω στο εξής, για απόδειξη, μια σειρά από φανταστικές, αξιοζήλευτες θα έλεγα, όμως δύσκολες, όχι μόνο για την απόδειξή τους, αλλά κυρίως για την επινόησή τους και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω, επεκτάσεις, γνωστών Θεωρημάτων, αλλά και Προτάσεων που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, οι οποίες αναφέρονται σε τετράδες συνευθειακών σημείων και όχι μόνο και οι οποίες προέκυψαν μετά από σχετική μελέτη.
Εδώ, για τα Θεωρήματα και τις Προτάσεις αυτές, θα αποδείξουμε ότι αληθεύουν και όταν τα σημεία αυτά είναι ομοκυκλικά.
Ήδη, δύο τέτοιες Προτάσεις μου, έχω δημοσιεύσει στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο», τεύχος 13, σελίδα 36 και αφορούν στην επέκταση του γνωστού μας Θεωρήματος Πάππου, που αφορά τις τομές δεσμών τεσσάρων και τριών ακτινών από ευθείες, σε τομές από κύκλο. Μάλιστα την δεύτερη από τις παραπάνω επεκτάσεις, έχω αναρτήσει ΕΔΩ, στην εργασία μου «Αρμονικά Εξάγωνα» [Πρόταση 2 α(45), λήμμα 3 § 4γ].

Αρχίζουμε με την παρακάτω, πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, επέκταση και σε κύκλο, της Πρότασης 10ι(200), που έχω αναρτήσει παραπάνω και η οποία αναφέρεται σε σημειοσειρά [Αν θέλει κάποιος να πεισθεί, για την αντιστοιχία των Προτάσεων 10ι(44) και 10ι(200), αρκεί να συγκρίνει τα σχήματά τους].
Πρόκειται, όπως θα διαπιστώσετε και εσείς για δύσκολη επέκταση όχι μόνο για την απόδειξή της, αλλά κυρίως για την σύλληψή της. Όμως προτείνεται στους φίλους Γεωμέτρες να προσπαθήσουν για τη λύση της, καθώς, αν επιτύχουν (απόδειξή της) θα αμειφτούν πλούσια Γεωμετρικά.
Δική μου λύση , θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η συναρπαστική αυτή Πρόταση, αναφέρεται σε επέκταση και σε κύκλο της Πρότασης 10ι(200), πρόκειται δηλαδή, όπως θα δούμε, για αρμονική κυκλική ενέλιξη και έχει ως εξής:
10ι(44). Δίνεται κύκλος ή και η τετράδα των διατεταγμένων σημείων του [Πρόκειται δηλαδή για δύο ζεύγη σημείων και , που δεν χωρίζονται ( δηλαδή οι , δεν τέμνονται μέσα στον κύκλο)].
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ζεύγος σημείων του κύκλου , τα οποία χωρίζουν αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και , ή για τα οποία τα τετράπλευρα , ' είναι αρμονικά ή ότι είναι: =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 10Ι(44) τόμος 10, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 115, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 10ι(44). Όπως και εσείς θα διαπιστώσετε, συγκρίνοντας τις Προτάσεις 10ι(44) και 10ι(200), η Πρόταση 10ι(200) αληθεύει πραγματικά και στον κύκλο. Τούτο εκτιμώ ότι είναι πρωτόγνωρο και απίστευτο θα έλεγα, όμως αληθινό.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

ΣΥΝΑΡΠΑΣΤΙΚΕΣ
Επεκτάσεις Θεωρημάτων από Ευθεία και σε Κύκλο.


Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
έχω τη χαρά να σας προτείνω στο εξής, για απόδειξη, μια σειρά από φανταστικές, αξιοζήλευτες θα έλεγα, όμως δύσκολες, όχι μόνο για την απόδειξή τους, αλλά κυρίως για την επινόησή τους και πρωτοεμφανιζόμενες πιστεύω, επεκτάσεις, γνωστών Θεωρημάτων, αλλά και Προτάσεων που έχω αναρτήσει εδώ μέχρι τώρα, οι οποίες αναφέρονται σε τετράδες συνευθειακών σημείων και όχι μόνο και οι οποίες προέκυψαν μετά από σχετική μελέτη.
Εδώ, για τα Θεωρήματα και τις Προτάσεις αυτές, θα αποδείξουμε ότι αληθεύουν και όταν τα σημεία αυτά είναι ομοκυκλικά.
Ήδη, δύο τέτοιες Προτάσεις μου, έχω δημοσιεύσει στο περιοδικό «Τα Μαθηματικά στο Ενιαίο Λύκειο», τεύχος 13, σελίδα 36 και αφορούν στην επέκταση του γνωστού μας Θεωρήματος Πάππου, που αφορά τις τομές δεσμών τεσσάρων και τριών ακτινών από ευθείες, σε τομές από κύκλο. Μάλιστα την δεύτερη από τις παραπάνω επεκτάσεις, έχω αναρτήσει ΕΔΩ, στην εργασία μου «Αρμονικά Εξάγωνα» [Πρόταση 2 α(45), λήμμα 3 § 4γ].

Αρχίζουμε με την παρακάτω, πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω, επέκταση και σε κύκλο, της Πρότασης 10ι(200), που έχω αναρτήσει παραπάνω και η οποία αναφέρεται σε σημειοσειρά [Αν θέλει κάποιος να πεισθεί, για την αντιστοιχία των Προτάσεων 10ι(44) και 10ι(200), αρκεί να συγκρίνει τα σχήματά τους].
Πρόκειται, όπως θα διαπιστώσετε και εσείς για δύσκολη επέκταση όχι μόνο για την απόδειξή της, αλλά κυρίως για την σύλληψή της. Όμως προτείνεται στους φίλους Γεωμέτρες να προσπαθήσουν για τη λύση της, καθώς, αν επιτύχουν (απόδειξή της) θα αμειφτούν πλούσια Γεωμετρικά.
Δική μου λύση , θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η συναρπαστική αυτή Πρόταση, αναφέρεται σε επέκταση και σε κύκλο της Πρότασης 10ι(200), πρόκειται δηλαδή, όπως θα δούμε, για αρμονική κυκλική ενέλιξη και έχει ως εξής:
10ι(44). Δίνεται κύκλος ή και η τετράδα των διατεταγμένων σημείων του [Πρόκειται δηλαδή για δύο ζεύγη σημείων και , που δεν χωρίζονται ( δηλαδή οι , δεν τέμνονται μέσα στον κύκλο)].
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει ζεύγος σημείων του κύκλου , τα οποία χωρίζουν αρμονικά και τα δύο ζεύγη σημείων και , ή για τα οποία τα τετράπλευρα , ' είναι αρμονικά ή ότι είναι: =1.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 10Ι(44) τόμος 10, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 115, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 10ι(44). Όπως και εσείς θα διαπιστώσετε, συγκρίνοντας τις Προτάσεις 10ι(44) και 10ι(200), η Πρόταση 10ι(200) αληθεύει πραγματικά και στον κύκλο. Τούτο εκτιμώ ότι είναι πρωτόγνωρο και απίστευτο θα έλεγα, όμως αληθινό.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

ΑΠΟΣΠΑΣΑ ΑΠΟ ΤΗΝ ΠΑΡΑΓΡΑΦΟ 10Ι(197) ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΜΟΥ «ΝΕΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ.

Κυκλική Αρμονική Ενέλιξη.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου 116, δίνω μερικά στοιχεία για την Κυκλική Αρμονική Ενέλιξη. Τα στοιχεία αυτά αποτελούν ένα μικρό απόσπασμα της παραγράφου 10ι(197) (τόμος 10), του βιβλίου μου»Νέα Στοιχεία γεωμετρίας».
Έτσι, πιστεύω ότι θα γίνουν περισσότερο κατανοητά όσα εδώ αναρτώ.
Για τις ενελίξεις ελάχιστα στοιχεία βρήκα στη βιβλιογραφία. Ζητώ επομένως από τους φίλους σχετικές πληροφορίες αν έχουν υπόψη τους, ή πηγές. Μία πηγή, βέβαια μόνο για αναρμονικές ενελίξεις, είναι το βιβλίο των Ιησουϊτών §1220 και 2109).
Αυτός είναι και ο λόγος που την σχετική ορολογία και τους σχετικούς ορισμούς έχει δώσει ο υποφαινόμενος.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

«ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ, ΟΜΩΣ ΑΛΗΘΙΝΟ».
ΤΟ ΕΝΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.
Γνωστό Θεώρημα Νεύτωνα, αληθεύει και σε ομοκυκλική αρμονική τετράδα σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, που τη θεωρώ φανταστική καθώς είναι πολύ χρήσιμη και που αφορά σε ομοκυκλική τετράδα αρμονικών σημείων.
Πρόκειται δηλαδή για επέκταση του γνωστού και πολύ χρήσιμου Θεωρήματος του Νεύτωνα, το οποίο αναφέρεται σε συνευθειακή τετράδα αρμονικών σημείων. Τούτο προφανώς αποτελεί συγχρόνως και το ενδέκατο κριτήριο αρμονικότητας αρμονικού τετραπλεύρου
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.


Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).



Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(28) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[vittasko]

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).
[/b]

Θεώρημα Newton στο αρμονικό τετράπλευρο.

f=112_t=20919.PNG (21.94 KiB) Προβλήθηκε 4817 φορές

Φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου τα σημεία οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω το οποίο ως γνωστό ανήκει στην ευθεία της διαγώνιας του δοσμένου τετραπλεύρου αφού αυτό είναι αρμονικό.

Έστω το σημείο και έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, αφού η είναι η πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο

Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, ισχύει όπου είναι το μέσον του

Από όπου είναι το κέντρο του προκύπτει ότι το ανήκει στον κύκλο έστω με διάμετρο το στον οποίο ανήκουν προφανώς και τα σημεία

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο τώρα, έχουμε ότι και

Από προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και άρα έχουμε

Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

[ΝΙΚΟΣ]

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).
[/b]

f=112_t=20919.PNG

Φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου τα σημεία οι οποίες τέμνονται στο σημείο έστω το οποίο ως γνωστό ανήκει στην ευθεία της διαγώνιας του δοσμένου τετραπλεύρου αφού αυτό είναι αρμονικό.

Έστω το σημείο και έχουμε ότι η σημειοσειρά είναι αρμονική, αφού η είναι η πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο

Έτσι, σύμφωνα με το Θεώρημα Newton, ισχύει όπου είναι το μέσον του

Από όπου είναι το κέντρο του προκύπτει ότι το ανήκει στον κύκλο έστω με διάμετρο το στον οποίο ανήκουν προφανώς και τα σημεία

Από το εγγράψιμο τετράπλευρο τώρα, έχουμε ότι και

Από προκύπτει ότι τα τρίγωνα είναι όμοια και άρα έχουμε

Από και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Κώστα Καλημέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στην νέα μου προσπάθεια που αποτελεί ολόκληρο σήριαλ και που προβλέπω να κρατήσει ένα εξάμηνο ακόμη.
Επίσης σε ευχαριστώ και για την παραπάνω απόδειξή σου, η οποία μου άρεσε, για τη σαφήνειά της και γιατί συνδυάζει το Θεώρημα του Νεύτωνα (ικανή και αναγκαία συνθήκη) και τη δική μου παραπάνω επέκταση του Θεωρήματος αυτού 11(28) ( επίσης ικανή και αναγκαία συνθήκη).
Όμως η απόδειξή σου δεν έχει προχωρήσει και στο αντίστροφό της, που είναι σημαντικό. Αν λοιπόν σου δοθεί η ευκαιρία ολοκλήρωσέ τη,
Δική μου απόδειξη (ευθύ και αντίστροφο) θα δώσω μετά από δύο βοηθητικές Προτάσεις (λήμματα), καθώς θέλω να παρουσιάσω εδώ και το δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου, που επινόησα αυτές τις ημέρες (τα άλλα εννέα περιλαμβάνονται ήδη σε βιβλίο μου).


Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής

[vittasko]

Νίκο καλημέρα.

Η αλήθεια είναι ότι έχω μπερδευτεί με το ζητούμενο του αντιστρόφου στο συγκεκριμένο πρόβλημα.

Αν για παράδειγμα σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ισχύει όπου είναι το μέσον του τότε δεν είναι απαραίτητο το να είναι αρμονικό.

Θεώρημα Newton στο αρμονικό τετράπλευρο - Σκέψεις για το αντίστροφο.

f=112_t=20919(a).PNG (24.47 KiB) Προβλήθηκε 4777 φορές

Στο ίδιο σχήμα που έχω δώσει και πιο πάνω για το οποίο γνωρίζουμε ότι το είναι αρμονικό και αποδείχθηκε ότι η αληθεύει , έστω το σημείο το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το συμμετρικό του ως προς τη μεσοκάθετη ευθεία του

από

Έτσι, έχουμε και άρα λόγω της ισχύει επίσης

Από την όμως δεν τεκμαίρεται ότι το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι αρμονικό, γιατί αυτό πράγματι δεν ισχύει, αφού .

Δηλαδή, σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο του οποίου η μία διαγώνια περνάει από το μέσον της άλλης, ισχύει η αλλά το τετράπλευρο δεν είναι αρμονικό, με μοναδική εξαίρεση το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι φανερό ότι τα τετράπλευρα έχουν ίσες τις πλευρές τους μία προς μία, έχουν επίσης ίσα εμβαδά, αλλά δεν είναι ίσα.

[ΝΙΚΟΣ]

Νίκο καλημέρα.

Η αλήθεια είναι ότι έχω μπερδευτεί με το ζητούμενο του αντιστρόφου στο συγκεκριμένο πρόβλημα.

Αν για παράδειγμα σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ισχύει όπου είναι το μέσον του τότε δεν είναι απαραίτητο το να είναι αρμονικό.

f=112_t=20919(a).PNG

Στο ίδιο σχήμα που έχω δώσει και πιο πάνω για το οποίο γνωρίζουμε ότι το είναι αρμονικό και αποδείχθηκε ότι η αληθεύει , έστω το σημείο το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το συμμετρικό του ως προς τη μεσοκάθετη ευθεία του

από

Έτσι, έχουμε και άρα λόγω της ισχύει επίσης

Από την όμως δεν τεκμαίρεται ότι το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι αρμονικό, γιατί αυτό πράγματι δεν ισχύει, αφού .

Δηλαδή, σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο του οποίου η μία διαγώνια περνάει από το μέσον της άλλης, ισχύει η αλλά το τετράπλευρο δεν είναι αρμονικό, με μοναδική εξαίρεση το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι φανερό ότι τα τετράπλευρα έχουν ίσες τις πλευρές τους μία προς μία, έχουν επίσης ίσα εμβαδά, αλλά δεν είναι ίσα.

Κώστα,
για το αντίστροφο της Πρότασης 11(28), έχω επιτύχει δύο αποδείξεις, που το επαληθεύουν. Η μία μάλιστα, είναι πολύ ξεκάθαρη και την οποία θα αναρτήσω μετά από δύο λήμματα που θα προηγηθούν και στα οποία η απόδειξη της Πρότασης αυτής θα βασισθεί, όπως και παραπάνω έχω αναφέρει.
Όσο για την παραπάνω σκέψη που κάνεις για το αντίστροφο της Πρότασης 11(28), πρέπει να γίνεται κάπου λάθος. Αν μου δοθεί χρόνος θα την δω μήπως και μπορέσω και το εντοπίσω.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

«ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ, ΟΜΩΣ ΑΛΗΘΙΝΟ».
Γνωστό Θεώρημα Νεύτωνα, αληθεύει και σε ομοκυκλική αρμονική τετράδα σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, που τη θεωρώ φανταστική καθώς είναι πολύ χρήσιμη και που αφορά σε ομοκυκλική τετράδα αρμονικών σημείων.
Πρόκειται δηλαδή για επέκταση του γνωστού και πολύ χρήσιμου Θεωρήματος του Νεύτωνα, το οποίο αναφέρεται σε συνευθειακή τετράδα αρμονικών σημείων.
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.


Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).



Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(28) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να δώσω τη δική μου απόδειξη, της παραπάνω Πρότασής μου 11(28), όπως έχω υποσχεθεί, έχω τη χαρά να σας προτείνω πρώτα για απόδειξη δύο Προτάσεις μου, που επινόησα τις ημέρες αυτές, καθώς σε αυτές θα βασισθεί η απόδειξή μου της Πρότασης 11(28), αλλά και γιατί θα ήθελα να παρουσιάσω εδώ το δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου (τα άλλα εννέα Κριτήρια περιλαμβάνονται ήδη στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»).
Αρχίζω παρακάτω με τη σημαντική και πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρότασή μου, που αποτελεί και το δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου. Προτείνω στους ενδιαφερόμενους λάτρεις της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή {λήμμα 1), έχει ως εξής:
(Δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου).

11(31). Αν είναι τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ή και είναι το μέσο της διαγωνίου του , τότε το τετράπλευρο αυτό είναι αρμονικό, αν και μόνο αν, η είναι διχοτόμος της γωνίας .

Σχόλια.
(α). Είναι φανερό ότι το ίδιο ισχύει και για το μέσο της άλλης διαγωνίου του τετράπλευρου . Δηλαδή η είναι διχοτόμος της γωνίας .
(β). Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(31) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

Νίκο καλημέρα.

Η αλήθεια είναι ότι έχω μπερδευτεί με το ζητούμενο του αντιστρόφου στο συγκεκριμένο πρόβλημα.

Αν για παράδειγμα σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο ισχύει όπου είναι το μέσον του τότε δεν είναι απαραίτητο το να είναι αρμονικό.

f=112_t=20919(a).PNG

Στο ίδιο σχήμα που έχω δώσει και πιο πάνω για το οποίο γνωρίζουμε ότι το είναι αρμονικό και αποδείχθηκε ότι η αληθεύει , έστω το σημείο το οποίο εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι το συμμετρικό του ως προς τη μεσοκάθετη ευθεία του

από

Έτσι, έχουμε και άρα λόγω της ισχύει επίσης

Από την όμως δεν τεκμαίρεται ότι το εγγράψιμο τετράπλευρο είναι αρμονικό, γιατί αυτό πράγματι δεν ισχύει, αφού .

Δηλαδή, σε κάθε εγγράψιμο τετράπλευρο του οποίου η μία διαγώνια περνάει από το μέσον της άλλης, ισχύει η αλλά το τετράπλευρο δεν είναι αρμονικό, με μοναδική εξαίρεση το ορθοδιαγώνιο τετράπλευρο.

Κώστας Βήττας.

ΥΓ. Είναι φανερό ότι τα τετράπλευρα έχουν ίσες τις πλευρές τους μία προς μία, έχουν επίσης ίσα εμβαδά, αλλά δεν είναι ίσα.

Κώστα,
για το αντίστροφο της Πρότασης 11(28), έχω επιτύχει δύο αποδείξεις, που το επαληθεύουν. Η μία μάλιστα, είναι πολύ ξεκάθαρη και την οποία θα αναρτήσω μετά από δύο λήμματα που θα προηγηθούν και στα οποία η απόδειξη της Πρότασης αυτής θα βασισθεί, όπως και παραπάνω έχω αναφέρει.
Όσο για την παραπάνω σκέψη που κάνεις για το αντίστροφο της Πρότασης 11(28), πρέπει να γίνεται κάπου λάθος. Αν μου δοθεί χρόνος θα την δω μήπως και μπορέσω και το εντοπίσω.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Κώστα καλημέρα.
Ο συλλογισμός σου είναι σωστός, αλλά έπεσες στην ειδική περίπτωση που η μία διαγώνιος του τετραπλεύρου διχοτομεί την άλλη διαγώνιο.
Στην ειδική περίπτωση όμως αυτή, επειδή ο πόλος βρίσκεται στο άπειρο, το τετράπλευρο αυτό πρέπει να έχει και κάθετες διαγώνιες, γιατί τότε μόνο είναι αρμονικό. Όμως το τετράπλευρο , που έχει προκύψει στο σχήμα σου, δεν είναι αρμονικό γατί δεν έχει κάθετες διαγώνιες.
Τούτο γίνεται σαφές και ευκολότερα αντιληπτό, στην διερεύνηση της Πρότασής μου 11(31) (δέκατο Κριτήριο αρμονικού τετραπλεύρου), απόδειξη της οποίας θα αναρτήσω με το συνημμένο μου 117 και στο οποίο αναφέρεται και η σχετική διερεύνησή της. Τούτο θα γίνει μάλλον αύριο.

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.[

[ΝΙΚΟΣ]

«ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ, ΟΜΩΣ ΑΛΗΘΙΝΟ».
Γνωστό Θεώρημα Νεύτωνα, αληθεύει και σε ομοκυκλική αρμονική τετράδα σημείων.




Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΤΟ ΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να δώσω τη δική μου απόδειξη, της παραπάνω Πρότασής μου 11(28), όπως έχω υποσχεθεί, έχω τη χαρά να σας προτείνω πρώτα για απόδειξη δύο Προτάσεις μου, που επινόησα τις ημέρες αυτές, καθώς σε αυτές θα βασισθεί η απόδειξή μου της Πρότασης 11(28), αλλά και γιατί θα ήθελα να παρουσιάσω εδώ το δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου (τα άλλα εννέα Κριτήρια περιλαμβάνονται ήδη στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»).
Αρχίζω παρακάτω με τη σημαντική και πρωτοεμφανιζόμενη πιστεύω Πρότασή μου, που αποτελεί και το δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου. Προτείνω στους ενδιαφερόμενους λάτρεις της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή {λήμμα 1), έχει ως εξής:
(Δέκατο Κριτήριο Αρμονικότητας του αρμονικού τετραπλεύρου).

11(31). Αν είναι τετράπλευρο εγγεγραμμένο σε κύκλο ή και είναι το μέσο της διαγωνίου του , τότε το τετράπλευρο αυτό είναι αρμονικό, αν και μόνο αν, η είναι διχοτόμος της γωνίας .

Σχόλια.
(α). Είναι φανερό ότι το ίδιο ισχύει και για το μέσο της άλλης διαγωνίου του τετράπλευρου . Δηλαδή η είναι διχοτόμος της γωνίας .
(β). Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(31) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 117, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(31).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα εδώ, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

«ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ, ΟΜΩΣ ΑΛΗΘΙΝΟ».
ΤΟ ΕΝΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.
Γνωστό Θεώρημα Νεύτωνα, αληθεύει και σε ομοκυκλική αρμονική τετράδα σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, που τη θεωρώ φανταστική καθώς είναι πολύ χρήσιμη και που αφορά σε ομοκυκλική τετράδα αρμονικών σημείων.
Πρόκειται δηλαδή για επέκταση του γνωστού και πολύ χρήσιμου Θεωρήματος του Νεύτωνα, το οποίο αναφέρεται σε συνευθειακή τετράδα αρμονικών σημείων. Τούτο προφανώς αποτελεί συγχρόνως και το ενδέκατο κριτήριο αρμονικότητας αρμονικού τετραπλεύρου
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.


Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).



Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(28) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ.
(ΛΗΜΜΑ 2).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να δώσω τη δική μου απόδειξη, της παραπάνω Πρότασής μου 11(28), όπως έχω υποσχεθεί, θα σας προτείνω για απόδειξη την βοηθητική Πρότασή μου 11(29) (Λήμμα 2), που επινόησα τις ημέρες αυτές, καθώς σε αυτή και στην προηγούμενη βοηθητική Πρότασή μου 11(31) (Λήμμα 1), θα βασισθεί η απόδειξή μου της Πρότασης 11(28).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους λάτρεις της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή (λήμμα 2), έχει ως εξής:

11(29). Σε τυχαίο σημείο της διαμέτρου ημικυκλίου ή , υψώνουμε κάθετη στη διάμετρο αυτή, η οποία τέμνει το ημικύκλιο σε σημείο . Στο ημικύκλιο αυτό και εκατέρωθεν του ορίζουμε σημεία τέτοια ώστε η να είναι διχοτόμος της γωνίας . Να αποδειχθεί ότι είναι: = ,
και αντίστροφα.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(29) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

«ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ, ΟΜΩΣ ΑΛΗΘΙΝΟ».
ΤΟ ΕΝΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.
Γνωστό Θεώρημα Νεύτωνα, αληθεύει και σε ομοκυκλική αρμονική τετράδα σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, που τη θεωρώ φανταστική καθώς είναι πολύ χρήσιμη και που αφορά σε ομοκυκλική τετράδα αρμονικών σημείων.
Πρόκειται δηλαδή για επέκταση του γνωστού και πολύ χρήσιμου Θεωρήματος του Νεύτωνα, το οποίο αναφέρεται σε συνευθειακή τετράδα αρμονικών σημείων. Τούτο προφανώς αποτελεί συγχρόνως και το ενδέκατο κριτήριο αρμονικότητας αρμονικού τετραπλεύρου
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.


Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).



Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(28) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

ΣΗΜΑΝΤΙΚΗ ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ.
(ΛΗΜΜΑ 2).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
προκειμένου να δώσω τη δική μου απόδειξη, της παραπάνω Πρότασής μου 11(28), όπως έχω υποσχεθεί, θα σας προτείνω για απόδειξη την βοηθητική Πρότασή μου 11(29) (Λήμμα 2), που επινόησα τις ημέρες αυτές, καθώς σε αυτή και στην προηγούμενη βοηθητική Πρότασή μου 11(31) (Λήμμα 1), θα βασισθεί η απόδειξή μου της Πρότασης 11(28).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους λάτρεις της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.

Η Πρόταση αυτή (λήμμα 2), έχει ως εξής:

11(29). Σε τυχαίο σημείο της διαμέτρου ημικυκλίου ή , υψώνουμε κάθετη στη διάμετρο αυτή, η οποία τέμνει το ημικύκλιο σε σημείο . Στο ημικύκλιο αυτό και εκατέρωθεν του ορίζουμε σημεία τέτοια ώστε η να είναι διχοτόμος της γωνίας . Να αποδειχθεί ότι είναι: = ,
και αντίστροφα.

Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(29) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου 118, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11(29).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα εδώ, ώστε να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.


Με αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

[ΝΙΚΟΣ]

«ΑΠΙΣΤΕΥΤΟ, ΟΜΩΣ ΑΛΗΘΙΝΟ».
ΤΟ ΕΝΔΕΚΑΤΟ ΚΡΙΤΗΡΙΟ ΑΡΜΟΝΙΚΟΤΗΤΑΣ ΑΡΜΟΝΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΟΥ.
Γνωστό Θεώρημα Νεύτωνα, αληθεύει και σε ομοκυκλική αρμονική τετράδα σημείων.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
αναρτώ παρακάτω, μία Πρόταση η οποία πιστεύω ότι πρωτοεμφανίζεται εδώ, που τη θεωρώ φανταστική καθώς είναι πολύ χρήσιμη και που αφορά σε ομοκυκλική τετράδα αρμονικών σημείων.
Πρόκειται δηλαδή για επέκταση του γνωστού και πολύ χρήσιμου Θεωρήματος του Νεύτωνα, το οποίο αναφέρεται σε συνευθειακή τετράδα αρμονικών σημείων. Τούτο προφανώς αποτελεί συγχρόνως και το ενδέκατο κριτήριο αρμονικότητας αρμονικού τετραπλεύρου
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας, να ασχοληθούν και να μας δώσουν τις δικές τους αποδείξεις. Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει, μετά από εύλογο χρονικό διάστημα.


Η Πρόταση αυτή έχει ως εξής:

11(28). Σε κύκλο ή , δίνεται η διατεταγμένη τετράδα σταθερών σημείων , για τα οποία το ζεύγος των σημείων , χωρίζεται αρμονικά από το ζεύγος , ή το τετράπλευρο
είναι αρμονικό, ή =1. (1).
Αν είναι το μέσον του , να δειχθεί ότι τότε και μόνο τότε είναι: ==. (2).



Σχόλιο.
Την παραπάνω Πρόταση, καταχώρησα στην παράγραφο 11(28) τόμος 11, του βιβλίου μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας».

Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου 119, όπως έχω υποσχεθεί, δίνω την απόδειξη της παραπάνω Πρότασής μου 11(28), την οποία θεωρώ σημαντικότατη καθώς αποτελεί το κριτήριο 11 της αρμονικότητας των αρμονικών τετραπλεύρων, αλλά και κυρίως γιατί επεκτείνει γνωστό θεώρημα του Νεύτωνα και σε κύκλο, το οποίο μέχρι τώρα ήταν γνωστό ότι αληθεύει, μόνο για τετράδα συνευθειακών σημείων.
Τούτο υποπτευόμουν από πολύ καιρό, ότι είναι πολύ πιθανόν να αληθεύει, αλλά δυσκολευόμουν να εντοπίσω το σημείο και βεβαίως να αποδείξω ότι την ισότητα (2) αυτής (Σχήμα 32).
Μετά την επινόηση της Πρότασης αυτής και βεβαίως την απόδειξή της (ευθύ και αντίστροφο), άνοιξε για μένα ένας δύσκολος αλλά ωραίος δρόμος, ώστε με βάση αυτή να διατυπώσω την θεωρία της κυκλικής αρμονικής ενέλιξης [Πρόταση 10ι(44) του συνημμένου μου 115 και παράγραφος 10ι(197) του συνημμένου μου 116].
Έτσι, από δω και στο εξής πιστεύω, ότι πολλά κομψά, χρήσιμα και πρωτόγνωρα θα προκύψουν, τα οποία θα έχουν την ευκαιρία και οι λάτρεις της Γεωμετρίας να γνωρίσουν (όσα φυσικά θα μπορέσω να αναρτήσω εδώ και που εκτιμώ ότι θα χρειαστούν περί τους έξι μήνες).
Προτείνω στους ενδιαφερόμενους φίλους της Γεωμετρίας , να ασχοληθούν να μας δώσουν και τις δικές τους , αποδείξεις, λύσεις, σε όλες ή σε μέρος των Προτάσεων και Προβλημάτων, που έχω αναρτήσει μέχρι τώρα, ώστε έτσι να συνεισφέρουν και στην προσπάθειά μου.
Ακόμη κάνω έγκληση στους λάτρεις της Γεωμετρίας, για μια ακόμη φορά, να ασχοληθούν με την έρευνα στη Γεωμετρία, καθώς έχουν πολλά να κερδίσουν οι ίδιοι αλλά και η Γεωμετρία, αφού:
ΕΡΕΥΝΑ =
Απόλαυση + Ανακαλύψεις + Έντονες Συγκινήσεις
Δημιουργία Πρόοδος.


Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής.