1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

parmenides51 · #1

ΘΕΜΑΤΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ

1. Στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{O}$ . Να δείξετε ότι : $\displaystyle{E_A \overrightarrow{OA}+E_B \overrightarrow{OB}+E_\Gamma \overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{O}}$ (1)
όπου $\displaystyle{E_A,E_B,E_\Gamma}$ τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{BO\Gamma, \Gamma OB, AOB}$ αντίστοιχα.

Σημείωση: Η σχέση (1) που ισχύει και για τετράεδρα και για μερικά συμπλέγματα του $\displaystyle{\nu}$ -διάστατου Ευκλείδειου χώρου είναι γνωστή σαν ''σχέση Καραθεοδωρή", γιατί ανακαλύφθηκε από τον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Κ.Καραθεοδωρή (1873-1950).

2. Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ που είναι συνεχής. Είναι ακόμα γνωστό, ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(f(f(x)))=x}$ έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Να δείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x}$ έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

3. Θεωρούμε την ευθεία $\displaystyle{E}$ : $\displaystyle{5x-10y+3=0}$ . Να δείξετε ότι:
α) Η ευθεία $\displaystyle{E}$ δεν περιέχει σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.
β) Δεν υπάρχει σημείο $\displaystyle{A(\alpha_1,\alpha_2)}$ με $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{Z}}$ που να απέχει από τη ευθεία ( $\displaystyle{E)}$ απόσταση μικρότερη από $\displaystyle{\frac{\sqrt3}{20}}$ .

4. Δίνονται οι διανυσματικοί χώροι $\displaystyle{V,W}$ με συντελεστές από ένα σώμα $\displaystyle{K}$ και η απεικόνιση $\displaystyle{ \phi :V\to W}$ που ικανοποιεί την σχέση:
$\displaystyle{\varphi(\lambda x+y)= \lambda \varphi(x)+\phi (y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in V, \lambda \in K}$ . Μια τέτοια απεικόνιση λέγεται γραμμική.
Αν $\displaystyle{L\varphi=\{x\in V/\varphi(x)=0\}}$ και $\displaystyle{M=\varphi(V)}$ , να δείξετε ότι :
(i) $\displaystyle{L\varphi}$ υπόχωρος του $\displaystyle{V}$ και $\displaystyle{M}$ υπόχωρος του $\displaystyle{W}$
(ii) $\displaystyle{L\varphi={O}}$ αν και μόνο η $\displaystyle{\varphi}$ είναι $\displaystyle{1-1}$
(iii) Η διάσταση του $\displaystyle{V}$ ισούται με την διάσταση του $\displaystyle{L\varphi}$ συν την διάσταση του $\displaystyle{\color{red} M}}}$
(iv) Αν $\displaystyle{\theta : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3}$ με $\displaystyle{\theta(x,y,z)=(2x-z,x{\color{green}-}y,x-3y+z)}$ να δείξετε οτι η $\displaystyle{\theta}$ είναι γραμμική συνάρτηση.
Να βρείτε το $\displaystyle{L\theta}$ και τη διάσταση του $\displaystyle{M=\theta({R}^3)}$ .
( $\displaystyle{L\theta=\{x\in {R}^3/\theta(x)=0\}}$ )

edit
Διορθώθηκε ένα γράμμα στο 4.iii
Αντικαταστάθηκε στον 4ο το σύμβολο > από το -,
δείτε και την απάντηση του Demetres παρακάτω

parmenides51 · #2

parmenides51 έγραψε:1. Στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{O}$ . Να δείξετε ότι : $\displaystyle{E_A \overrightarrow{OA}+E_B \overrightarrow{OB}+E_\Gamma \overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{O}}$ (1)
όπου $\displaystyle{E_A,E_B,E_\Gamma}$ τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{BO\Gamma, \Gamma OB, AOB}$ αντίστοιχα.

Σημείωση: Η σχέση (1) που ισχύει και για τετράεδρα και για μερικά συμπλέγματα του $\displaystyle{\nu}$ -διάστατου Ευκλείδειου χώρου είναι γνωστή σαν ''σχέση Καραθεοδωρή", γιατί ανακαλύφθηκε από τον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Κ.Καραθεοδωρή (1873-1950).

Στο

(προς το παρόν) έχουμε τις παρακάτω αποδείξεις του (αποκαλούμενου) Θεωρήματος Καραθεοδωρή:

εδώ από Στέλιο Μαρίνη
εδώ από Ανδρέα Βαρβεράκη
εδώ από Κώστα Σερίφη

#3

parmenides51 έγραψε: Υ.Γ. Διατηρώ τις επιφυλάξεις μου για το σύμβολο της ανισότητας που κοκκίνισα στο θέμα 4.iv αλλά στο site της ΕΜΕ έτσι το έχει σκαναρισμένο .

Τυπογραφικό λάθος. Λογικά είτε

θα ήταν είτε

. Ψηφίζω

αφού με το

το $L(\vartheta)$ είναι τετριμμένο.

Grigoris K. · #4

parmenides51 έγραψε: 2. Θεωρούμε την συνάρτηση $\displaystyle{ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}}$ που είναι συνεχής. Είναι ακόμα γνωστό, ότι η εξίσωση $\displaystyle{f(f(f(x)))=x}$ έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ . Να δείξετε οτι η εξίσωση $\displaystyle{f(x)=x}$ έχει λύση στο $\displaystyle{\mathbb{R}}$ .

Με επιφύλαξη. Ας ρίξει κάποιος μια ματιά:

Από υπόθεση υπάρχει $\displaystyle{ x_o \in \mathbb R }$ με $\displaystyle{ f(f(f(x_0))) = x_0 }$ . Ορίζω την συνάρτηση $\displaystyle{ g(x) = f(x) - x }$ η οποία είναι συνεχής ως διαφορά συνεχών.

Αν $\displaystyle{ g(x) \neq 0 ~~\forall x \in \mathbb R }$ τότε η $\displaystyle{ g }$ διατηρεί σταθερό πρόσημο. Αν $\displaystyle{ g(x) > 0~~ \forall x \in \mathbb R }$ ισχύει $\displaystyle{ f(x) > x~(*) }$ .

Θέτοντας στην τελευταία $\displaystyle{ x \rightarrow f(f(x_0)) }$ λαμβάνουμε $\displaystyle{ f(f(f(x_0))) > f(f(x_0)) \Rightarrow x_0 > f(f(x_0)) \mathop > \limits^{(*)} f(x_0) }$ άτοπο.

Ομοίως άτοπο αν $\displaystyle{ g(x)<0 ~~\forall x \in \mathbb R }$ . Συνεπώς η εξίσωση $\displaystyle{ g(x) = 0 \Leftrightarrow f(x) = x }$ έχει ρίζα στο $\displaystyle{ \mathbb R }$ .

parmenides51 · #5

parmenides51 έγραψε:3. Θεωρούμε την ευθεία $\displaystyle{E}$ : $\displaystyle{5x-10y+3=0}$ . Να δείξετε ότι:
α) Η ευθεία $\displaystyle{E}$ δεν περιέχει σημεία με ακέραιες συντεταγμένες.
β) Δεν υπάρχει σημείο $\displaystyle{A(\alpha_1,\alpha_2)}$ με $\displaystyle{\alpha_1,\alpha_2 \in \mathbb{Z}}$ που να απέχει από τη ευθεία ( $\displaystyle{E)}$ απόσταση μικρότερη από $\displaystyle{\frac{\sqrt3}{20}}$ .

εδώ

BAGGP93 · #6

4. Δίνονται οι διανυσματικοί χώροι $\displaystyle{V,W}$ με συντελεστές από ένα σώμα $\displaystyle{K}$ και η απεικόνιση $\displaystyle{ \phi :V\to W}$ που ικανοποιεί την σχέση:
$\displaystyle{\varphi(\lambda x+y)= \lambda \varphi(x)+\phi (y)}$ για κάθε $\displaystyle{x,y \in V, \lambda \in K}$ . Μια τέτοια απεικόνιση λέγεται γραμμική.
Αν $\displaystyle{L\varphi=\{x\in V/\varphi(x)=0\}}$ και $\displaystyle{M=\varphi(V)}$ , να δείξετε ότι :
(i) $\displaystyle{L\varphi}$ υπόχωρος του $\displaystyle{V}$ και $\displaystyle{M}$ υπόχωρος του $\displaystyle{W}$
(ii) $\displaystyle{L\varphi={O}}$ αν και μόνο η $\displaystyle{\varphi}$ είναι $\displaystyle{1-1}$
(iii) Η διάσταση του $\displaystyle{V}$ ισούται με την διάσταση του $\displaystyle{L\varphi}$ συν την διάσταση του $\displaystyle{W}$
(iv) Αν $\displaystyle{\theta : \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^3}$ με $\displaystyle{\theta(x,y,z)=(2x-z,x{\color{red}>}y,x-3y+z)}$ να δείξετε οτι η $\displaystyle{\theta}$ είναι γραμμική συνάρτηση.
Να βρείτε το $\displaystyle{L\theta}$ και τη διάσταση του $\displaystyle{M=\theta({R}^3)}$ .
( $\displaystyle{L\theta=\{x\in {R}^3/\theta(x)=0\}}$ )

Υ.Γ. Διατηρώ τις επιφυλάξεις μου για το σύμβολο της ανισότητας που κοκκίνισα στο θέμα 4.iv αλλά στο site της ΕΜΕ έτσι το έχει σκαναρισμένο .

Καλησπέρα και από μένα με μία λύση για το 4)

i)Αφού η $\displaystyle{\varphi}$ είναι γραμμική,τότε $\displaystyle{\varphi(0)=0}$

(Άλλωστε,αυτό προκύπτει εύκολα από την δοσμένη για $\displaystyle{x=y=0,\lambda=1\in\mathbb{K}}$ )

Συνεπώς $\displaystyle{0\in L\varphi}$

Έστω $\displaystyle{x,y\in L\varphi}$ και $\displaystyle{\lambda\in\mathbb{K}}$

Τότε ισχύει ότι $\displaystyle{\varphi(x)=0}$ και $\displaystyle{\varphi(y)=0}$

Ισχύει ότι $\displasytyle{x+y\in V}$ και $\displaystyle{\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)=0}$ απ'όπου συμπεραίνουμε ότι

$\displaystyle{x+y\in\L\varphi}$

Επίσης, $\displaystyle{\varphi(\lambda\cdot x)=\varphi(\lambda\cdot x+0)=\lambda\cdot \varphi(x)+\varphi(0)=0}$

Από τα παραπάνω έχουμε ότι ο $\displaystyle{L\varphi}$ είναι υπόχωρος του $\displaystyle{V}$

Επειδή $\displaystyle{\varphi(0)=0}$ ,είναι $\displaystyle{0\in\varphi(V)=M}$

Έστω $\displasytyle{z,w\in\varphi(V)=M}$

Εξ'ορισμού,υπάρχουν $\displaystyle{x,y\in\V}$ τέτοια,ώστε $\displaystyle{\varphi(x)=z}$ και $\displaystyle{\varphi(y)=w}$

Άρα, $\displaystyle{\varphi(x+y)=\varphi(x)+\varphi(y)=z+w}$ που σημαίνει ότι $\displaystyle{z+w\in\varphi(V)=M}$

Ομοίως δείχνουμε ότι αν $\displaystyle{z\in\varphi(V)=M}$ τότε και $\displaystyle{kz\in\varphi(V)}}$

Συνεπώς και ο $\displaystyle{M}$ είναι υπόχωρος του $\displaystyle{W}$

ii) $\displaystyle{"\Rightarrow"}$

Έστω ότι $\displaystyle{L\varphi={O}}$

Τότε, $\displaystyle{\varphi(x)=0}\Rightarrow x=0(\ast)}$

Ας είναι $\displaystyle{x,y\in V}$ με $\displaystyle{\varphi(x)=\varphi(y)}$

Τότε από την αρχική σχέση για $\displaystyle{\lambda=1}$ και $\displaystyle{y=-y}$ λαμβάνουμε

$\displaystyle{\varphi(x-y)=\varphi(x)+\varphi(-y)\Rightarrow \varphi(x-y)=\varphi(x)-\varphi(y)=0\stackrel{(\ast)}{\Rightarrow}x=y}$

$\displaystyle{"\Leftarrow"}$

Υποθέτουμε τώρα ότι η $\displaystyle{\varphi}$ είναι "1-1"

Έστω $\displaystyle{x\in L\varphi}$

Τότε, $\displaystyle{\varphi(x)=0}$

$\displaystyle{\varphi(x)=0\Rightarrow \varphi(x)=\varphi(0)\Rightarrow x=0}$

και άρα $\displaystyle{L\varphi={O}}$

iii)Προφανώς αναφερόμαστε σε χώρους πεπερασμένης διάστασης διότι αλλιώς δεν έχει νόημα να ασχοληθούμε με το ερώτημα αυτό

Ισχύει, $\displaystyle{\dim_{K} V=\dim_{K} L\varphi+\dim_{K}\varphi(V)}}$ ,όπου εξ'όρισμού $\displaystyle{L\varphi=Ker\varphi}$

Στο site της Ε.Μ.Ε λέει να δείξουμε ότι $\displaystyle{\dim_{K} V=\dim_{K} L\varphi+\dim_{K} Μ}}$ το οποίο φαίνεται παραπάνω.

iv)Σύμφωνα με την συζήτηση των μελών Demetres και parmenides51 είναι

$\displaystyle{\theta:\mathbb{R}^3\rightarrow \mathbb{R}^3}$ με $\displaystyle{\theta(x,y,z)=(2x-z,x-y,x-3y+z)}$

Για τυχόντα $\displaystyle{(x_1,y_1,z_1),(x_2,y_2,z_2)\in\mathbb{R}^3}$ και τυχόν $\displaystyle{a\in\mathbb{K}}$ είναι

$\displaystyle{\theta[a(x_1,y_1,z_1)+(x_2,y_2,z_2]=\theta(ax_1+x_2,ay_1+y_2,az_1+z_2)=$

$\displaystyle{=[2(ax_1+x_2)-(az_1+z_2),ax_1+x_2-ay_1-y_2,ax_1+x_2-3ay_1-3y_2+az_1+z_2]$

$\displaystyle{=a(2x_1-z_1,x_1-y_1,x_1-3y_1+z_1)+(2x_2-z_2,x_2-y_2,x_2-3y_2+z_2)$

$\displaystyle{=a\theta(x_1,y_1,z_1)+\theta(x_2,y_2,z-2)}$

Συνεπώς, η $\displaystyle{\theta}$ είναι γραμμική

$\displaystyle{L\theta=\left\{x\in\mathbb{R}^3:\theta(x)=0\right\}$

$\displaystyle{(x,y,z)\in L\theta\Leftrightarrow \theta(x,y,z)=0\Leftrightarrow}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow (2x-z,x-y,x-3y+z)=(0,0,0)}$

$\displaystyle{\Leftrightarrow 2x-z=0\ \land x-y=0\ \land x-3y+z=0}$

$\displaystyle{z=2x\ \land x=y\ \land x-3y+z=0}$

Άρα, $\displaystyle{L\theta=\left\{(x,x,2x):x\in\mathbb{R}\right\}=<(1,1,2)>}$

Αφού, $\displasytyle{(1,1,2)\neq (0,0,0)}$ τότε $\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}L\theta =1}$

Έτσι,

$\displaystyle{\dim_{\mathbb{R}}M=\dim_{\mathbb{R}}\mathbb{R}^3-\dim_{\mathbb{R}}L\theta=3-1=2}$

parmenides51 · #7

BAGGP93 έγραψε: 4)iii) Στο site της Ε.Μ.Ε λέει να δείξουμε ότι $\displaystyle{\dim_{K} V=\dim_{K} L\varphi+\dim_{K}\color{red}M}}$ το οποίο φαίνεται παραπάνω

ευχαριστούμε και για την λύση και για την διόρθωση, διορθώθηκε η εκφώνηση

BAGGP93 · #8

Να είστε καλά

parmenides51 · #9

parmenides51 έγραψε:
parmenides51 έγραψε:1. Στο εσωτερικό τριγώνου $\displaystyle{AB\Gamma}$ θεωρούμε τυχαίο σημείο $\displaystyle{O}$ . Να δείξετε ότι : $\displaystyle{E_A \overrightarrow{OA}+E_B \overrightarrow{OB}+E_\Gamma \overrightarrow{O\Gamma}=\overrightarrow{O}}$ (1)
όπου $\displaystyle{E_A,E_B,E_\Gamma}$ τα εμβαδά των τριγώνων $\displaystyle{BO\Gamma, \Gamma OB, AOB}$ αντίστοιχα.

Σημείωση: Η σχέση (1) που ισχύει και για τετράεδρα και για μερικά συμπλέγματα του $\displaystyle{\nu}$ -διάστατου Ευκλείδειου χώρου είναι γνωστή σαν ''σχέση Καραθεοδωρή", γιατί ανακαλύφθηκε από τον μεγάλο Έλληνα μαθηματικό Κ.Καραθεοδωρή (1873-1950).
Στο (προς το παρόν) έχουμε τις παρακάτω αποδείξεις του (αποκαλούμενου) Θεωρήματος Καραθεοδωρή:

εδώ από Στέλιο Μαρίνη
εδώ από Ανδρέα Βαρβεράκη
εδώ από Κώστα Σερίφη

Ας προσθέσω συνημμένα μια απόδειξη του Ροδόλφου Μπόρη με μιγαδικούς από το aops

1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Re: 1η Ελληνική Μαθηματική Ολυμπιάδα 1985 (Γ' Λυκείου)

Μέλη σε σύνδεση