Πολυώνυμο γραμμικῶν μετασχηματισμῶν

Γ.-Σ. Σμυρλής · #1

Ἔστω

γραμμικός χῶρος ἐπί τοῦ $\mathbb C$ (ὄχι ἀπαραιτήτως πεπερασμένης διαστάσεως) καί $T:V\to V$ γραμμικός μετασχηματισμός. Ἄν

πολυώνυμο, τό ὁποῖο ἀναλύεται ὡς

$\displaystyle{ p(x) = (x-\lambda_1)^{k_1}\cdots (x-\lambda_\nu)^{k_\nu}, }$

ὅπου $\lambda_1,\ldots,\lambda_\nu$ διάφοροι ἀνά δύο μιγαδικοί, τότε

$\displaystyle{ \ker p(T) \,=\, \ker (T-\lambda_1)^{k_1} \oplus \cdots \oplus \ker (T-\lambda_\nu)^{k_\nu}, }$

ὅπου $\ker p(T) = \{v\in V : p(T)v=0\}$ .

Bern · #2

Αυτό είναι άλλη μορφή του Φασματικού θεωρήματος. Το έχει και ο P. Lax στο βιβλίο του.

Αρκεί να το δείξεις για πολυώνυμο που είναι γινόμενο δυο πολυωνύμων σχετικά πρώτων και μετά η επαγωγή θα δώσει αυτό που θες.

Λήμμα. Έστω p,q

πολυώνυμα στο $\mathbb C[x]$ χωρίς κοινή ρίζα. Γράφουμε $N_{pq}$ για τον ${\rm ker}p(T)q(T)$ και N_p, N_q

για τους ${\rm ker}p(T)$ και ${\rm ker}q(T)$ αντιστοίχως. Τότε, $N_{pq}=N_p\oplus N_q$ .

Απόδειξη. Εφόσον, δεν έχουν κοινή ρίζα υπάρχουν πολυώνυμα a,b

ώστε

, το οποίο δίνει a(T)p(T)+b(T)q(T)=I

. Αν $x\in V$ τότε x=a(T)p(T)x+b(T)q(T)x

. Η παρατήρηση είναι ότι αν $x\in N_{pq}$ , ο πρώτος προσθετέος ανήκει στο Ν_q

ενώ ο δεύτερος στο N_p

. Αυτό είναι άμμεσο αν χρησιμοποιήσουμε το γεγονός ότι πολυώνυμα του ίδιου γραμμικού τελεστή μετατίθενται. Άρα, κάθε $x\in N_{pq}$ γράφεται ως x=x_p+x_q

με $x_p\in N_p, x_q\in N_q$ . Για τη μοναδικότητα της γραφής λέμε: αν x=x_p+x_q=x_p'+x_q'

τότε

απ΄ όπου προκύπτει ότι $y\in N_p\cap N_q$ . Άρα, y=a(T)p(T)y+b(T)q(T)y=0

και τελείωσες.

Πολυώνυμο γραμμικῶν μετασχηματισμῶν

Πολυώνυμο γραμμικῶν μετασχηματισμῶν

Re: Πολυώνυμο γραμμικῶν μετασχηματισμῶν

Μέλη σε σύνδεση