συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

parmenides51 · #1

Μια απόπειρα συγκέντρωσης και καλύτερης παρουσίασης όλων των πρόσφατων αριθμημένων προτάσεων
του Βασίλη Μαυροφρύδη (mathxl) στο κεφάλαιο των Μιγαδικών Αριθμών.
Με την πρώτη ευκαιρία θα ψάξω άλλες παραπομπές για τις παρακάτω ασκήσεις.
Οι ενδιαφερόμενοι λύτες ας πάνε στην εκάστοτε παραπομπή για άλλες ιδέες.

Μιγαδικοί

01. Έστω $\displaystyle{{z_1},{z_2} \in \mathbb C}$ . Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{E = {z_1} \overline {{z_2}} + {z_2} \overline {{z_1}} }$ είναι πραγματικός. (εδώ)

02. Εάν $\displaystyle{\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1}$ και $\displaystyle{{z_1} {z_2} \ne - 1}$ να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\frac{{{z_1} + {z_2}}}{{{z_1} {z_2} + 1}} \in \mathbb R}$ . ( εδώ)

03. Έστω οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3},...,{z_\nu }$ με $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = ... = \left| {{z_\nu }} \right| = \rho > 0$ .
Να αποδείξετε ότι ο αριθμός $\displaystyle{E = \frac{{\left( {{z_1} + {z_2}} \right)\left( {{z_2} + {z_3}} \right) \cdot \cdot \cdot \left( {{z_{\nu - 1}} + {z_\nu }} \right)\left( {{z_\nu } + {z_1}} \right)}}{{{z_1}{z_2} \cdot \cdot \cdot {z_\nu }}}}$ είναι πραγματικός. (εδώ)

04. Να αποδείξετε ότι ο αριθμός:
α. ${E_1} = {\left( {2 + i\sqrt 5 } \right)^7} + {\left( {2 - i\sqrt 5 } \right)^7}$ είναι πραγματικός.
β. ${E_2} = {\left( \displaystyle {\frac{{19 + 7i}}{{9 - i}}} \right)^\nu } + {\left(\displaystyle {\frac{{20 + 5i}}{{7 + 6i}}} \right)^\nu }$ είναι πραγματικός. (εδώ)

05. Έστω οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3}$ τέτοιοι ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = \rho > 0$ και ${{z_1} + {z_2} + {z_3} \ne 0}$ .
Να αποδείξετε ότι $\displaystyle\left| {\frac{{{z_1}{z_2} + {z_1}{z_3} + {z_2}{z_3}}}{{{z_1} + {z_2} + {z_3}}}} \right| = \rho$ . (εδώ)

06. Έστω ${z_1},{z_2} \in C$ . Να αποδείξετε την ταυτότητα ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = 2\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$ . (εδώ)

07. Έστω ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ . Να αποδείξετε την ταυτότητα ${\left| {{z_1} + {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_2} + {z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_3} + {z_1}} \right|^2} = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|^2}$ . (εδώ)

08. Ας είναι ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ τέτοιοι ώστε ${\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{{\bar z}_1}{z_2}} \right) = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{{\bar z}_2}{z_3}} \right) = {\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( {{{\bar z}_3}{z_1}} \right) \ne 0$ .
Να δείξετε ότι ${\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} + {\left| {{z_2} - {z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_3} - {z_1}} \right|^2} = 3\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2} + {{\left| {{z_3}} \right|}^2}} \right)$

(1988 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade) (εδώ)

09. Για κάθε ${z_1},{z_2} \in C$ να αποδείξετε τις ταυτότητες:
α. ${\left| {1 + {z_1}{{\bar z}_2}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left( {1 + {{\left| {{z_1}} \right|}^2}} \right)\left( {1 + {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$
β. ${\left| {1 - {z_1}{{\bar z}_2}} \right|^2} - {\left| {{z_1} - {z_2}} \right|^2} = \left( {1 - {{\left| {{z_1}} \right|}^2}} \right)\left( {1 - {{\left| {{z_2}} \right|}^2}} \right)$ (εδώ)

10. Για κάθε ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ να αποδείξετε την ταυτότητα:
${\left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|^2} + {\left| { - {z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_1} - {z_2} + {z_3}} \right|^2} + {\left| {{z_1} + {z_2} - {z_3}} \right|^2} = 4\left( {{{\left| {{z_1}} \right|}^2} + {{\left| {{z_2}} \right|}^2} + {{\left| {{z_3}} \right|}^2}} \right)$ (εδώ)

11. Έστω οι μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3}$ που είναι τέτοιοι ώστε ${{z_1} + {z_2} + {z_3} = 0}$ και $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$ . Να αποδείξετε ότι
α. z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 = 0

.
β. $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right| = \left| {{z_3} - {z_2}} \right|$
γ. $\displaystyle{\left| {1 - \frac{{{z_3}}}{{{z_1}}}} \right| = \sqrt 3}$ (εδώ)

12. Δίνονται οι ανά δύο διαφορετικοί μιγαδικοί ${z_1},{z_2},{z_3}$ τέτοιοι ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| > 0$ .
Εάν οι αριθμοί ${z_1} + {z_2}{z_3},{z_2} + {z_1}{z_3},{z_3} + {z_1}{z_2}$ είναι πραγματικοί, να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{z_1}{z_2}{z_3} = 1}$ .

(1979 Romanian Math Olympiad, State Competition, 10th grade) (εδώ)

13. Εάν ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = 1$ τότε να δείξετε ότι :
$\displaystyle{{{\rm{(}}{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{\rm{)}}^2}{\rm{ = }}{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\left| {{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_1}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}} \right|^2}}$

(1988 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade) (εδώ)

14. Έστω ${z_1},{z_2},{z_3} \in {C^ * }$ ,
α. Εάν $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$ τότε : ${z_1} + {z_2} + {z_3} = 0$ αν και μόνο αν $\displaystyle{{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1} = 0}$
β. Εάν ${z_1} + {z_2} + {z_3} = {{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1} = 0$ τότε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right|$

(1987 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade) (εδώ)

15. Έστω ${z_1},{z_2} \in C$ . Να αποδείξετε ότι $\max \left\{ {\left| {{z_1}} \right|,\left| {{z_2}} \right|} \right\} \le \left| {{z_1} + {z_2}} \right| + \sqrt {\left| {{z_1}{z_2}} \right|}$

(1990 Romanian Math Olympiad, School Competition, 10th grade) (εδώ)

16. Ας είναι $\displaystyle{z \in C}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{{\mathop{\rm Im}\nolimits} \left( z \right) > 0 \Leftrightarrow \left| {\frac{{z - i}}{{z + i}}} \right| < 1}$ (εδώ)

17. Να αποδείξετε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό

, είναι $\displaystyle{\left| {z + 1} \right| \ge \frac{1}{{\sqrt 2 }}}$ ή $\displaystyle{\left| {{z^2} + 1} \right| \ge 1}$ . (εδώ)

18. Ας είναι $u,\upsilon ,w,z$ μιγαδικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε $\left| u \right| \le 1,\left| \upsilon \right| = 1$ και $w = \dfrac{{\upsilon \left( {u - z} \right)}}{{\bar u \cdot z - 1}}$ .
Να αποδείξετε ότι $\left| w \right| \le 1$ αν και μόνο αν $\left| z \right| \le 1$ . (εδώ)

19. Έστω $z \in C$ τέτοιος ώστε: $11{z^{10}} + 10i{z^9} + 10iz - 11 = 0$ . Να αποδείξετε ότι |z| = 1

(Putnam 1989 A3) (εδώ)

20. Ας είναι $z \in {C^ * }$ τέτοιος ώστε $\displaystyle{\left| {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right| \le 2}$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {z + \frac{1}{z}} \right| \le 2}$ . (εδώ)

21. Ας είναι $z \in C$ με ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( z \right) > 1$ . Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {\frac{1}{z} - \frac{1}{2}} \right| < \frac{1}{2}}$ . (εδώ)

22. Να δείξετε ότι αν $\displaystyle{\left| z \right| < \frac{1}{2}}$ τότε $\displaystyle{\left| {\left( {1 + i} \right){z^3} + iz} \right| < \frac{3}{4}}$ . (εδώ)

23. Ας είναι ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}{\rm{ + }}{{\rm{z}}_3}{{\rm{z}}_1}} \right| = a}$ και $\displaystyle{\left| {{{\rm{z}}_1}{{\rm{z}}_2}{{\rm{z}}_3}} \right| = \beta }$ , όπου $a \ne 0 \ne \beta$ .
Να αποδείξετε ότι υπάρχει $\kappa \in \left\{ {1,2,3} \right\}$ για το οποίο είναι $\displaystyle{\left| {{z_\kappa }} \right| \le \frac{{3\beta }}{\alpha }}$ (εδώ)

24. Ας είναι ${z_1},{z_2},{z_3} \in C$ τέτοιοι ώστε $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = \left| {{z_3}} \right| = R > 0$ .
Αποδείξτε ότι: $\left| {{z_1} - {z_2}} \right| \cdot \left| {{z_2} - {z_3}} \right| + \left| {{z_3} - {z_1}} \right| \cdot \left| {{z_1} - {z_2}} \right| + \left| {{z_2} - {z_3}} \right| \cdot \left| {{z_3} - {z_1}} \right| \le 9{R^2}$ . (εδώ)

25. Να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| + \left| {{z_2} + {z_3}} \right| + \left| {{z_3} + {z_1}} \right| \le \left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right| + \left| {{z_3}} \right| + \left| {{z_1} + {z_2} + {z_3}} \right|,\forall {z_1},{z_2},{z_3} \in C}$ (εδώ)

26. Έστω z = 9 + bi

, όπου

θετικός πραγματικός αριθμός. Εάν τα φανταστικά μέρη των ${z^2}$ και ${z^3}$ είναι ίσα, να βρείτε το

. (εδώ)

27. Έστω οι διαφορετικοί ανά δύο μιγαδικοί αριθμοί a,b,c

. Υποθέτουμε ότι υπάρχει πραγματικός αριθμός $\lambda$ ώστε $a + c - 2b = \lambda i\left( {a + b - 2c} \right)$ .
Αποδείξτε ότι $\left| {b + c - 2a} \right| = 3\left| {b - c} \right|$ .

[G.M. 2/2011] (εδώ)

28. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς

με $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ . Αποδείξτε ότι $\displaystyle{\sqrt 3 \le \left| {1 + z} \right| + \left| {1 - z + {z^2}} \right| \le \frac{{13}}{4}}$ . (εδώ)

29. Έστω $\displaystyle{a,b,c \in {R^ * }}$ και οι μιγαδικοί $\displaystyle{z \in C{\rm{ - }}R}$ με $\displaystyle{\left| z \right| = 1}$ που ικανοποιούν τη σχέση $\displaystyle{{\rm{a}}{{\rm{z}}^2} + b\bar z + c = 0}$ .
Αποδείξτε ότι $\displaystyle{\frac{c}{a} \in \left( { - 3,1} \right)}$ και $\displaystyle{\frac{b}{a} \in \left( { - 2,2} \right)}$ .

[G.M. 1/2011] (εδώ)

30. Θεωρούμε τους μιγαδικούς που ικανοποιούν τις σχέσεις: $\displaystyle{\left| {z_1^5 + z_2^5} \right| \le 2,\left| {z_1^3 + z_2^3} \right| \le 2,\left| {{z_1}{z_2}} \right| \le 1}$ .
Αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le 2}$ . (εδώ)

31. Θεωρούμε τους μιγαδικούς $\displaystyle{{z_1},{\rm{ }}{z_2}}$ με ίσα μέτρα και τον πραγματικό αριθμό $\displaystyle{\alpha > 1}$ . Αποδείξτε ότι $\left( {a + 1} \right)\left| {{z_1} + {z_2}} \right| \le 2\left| {a{z_1} + {z_2}} \right|$ .

[G.M. 3/2011] (εδώ)

32. Θεωρούμε τους μιγαδικούς ${z_1},{z_2},{z_3}$ που ικανοποιούν τις σχέσεις $\left| {2{z_1} - {z_2} - {z_3}} \right| = \left| {{z_2} - {z_3}} \right|,\left| {2{z_2} - {z_1} - {z_3}} \right| = \left| {{z_1} - {z_3}} \right|$ .
Αποδείξτε ότι ${z_1} = {z_2}$ .

[G.M. 3/2011] (εδώ)

33. Θεωρούμε όλους τους μιγαδικούς

που ικανοποιούν την σχέση $\displaystyle{\left| {{\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} + {\rm{ }}i} \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}2.}$
Βρείτε τους μιγαδικούς

για τους οποίους η παράσταση $\displaystyle{\left| {z{\rm{ }}-{\rm{ }}2{\rm{ }} + {\rm{ }}5i} \right|}$ παίρνει ελάχιστη και μέγιστη τιμή.

[G.M. 6/2011] (εδώ)

34. Βρείτε όλες τις τριάδες μιγαδικών $\displaystyle{\left( {a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c} \right)}$ που ικανοποιούν τις σχέσεις $\displaystyle{\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| b \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| c \right|}$ και $\displaystyle\frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} = 1$ .

(Διαγωνισμός «Argument» Baia Mare, Romania 6/11/2010 ) (εδώ)

35. Για τους μιγαδικούς

ισχύουν οι σχέσεις $\displaystyle{\left| {1{\rm{ }} + {\rm{ }}z} \right|{\rm{ }} \le 1}$ και $\displaystyle{|1{\rm{ }} + {\rm{ }}{z^2}|{\rm{ }} \le 1}$ . Αποδείξτε ότι $\displaystyle{\left| {{\rm{ }}z} \right|{\rm{ }} \le 1{\rm{ }}.}$ (εδώ)

36. Ορίζουμε το σύνολο $A = \left\{ {z \in C/\left| {z - 1} \right| \le 1,\left| {z - \varepsilon } \right| \le 1\left| {z - {\varepsilon ^2}} \right| \le 1} \right\}$ όπου $\varepsilon$ η ρίζα της εξίσωσης ${x^2} + x + 1 = 0$ .
α. Να δείξετε ότι $\left| z \right| \le 1$
β. Βρείτε όλα τα στοιχεία του συνόλου

.(εδώ)

37. Έστω $a,b,c \in R$ και $\displaystyle{w = - \frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}}$ . Υπολογίστε $\displaystyle{(a{\rm{ }} + {\rm{ }}bw{\rm{ }} + {\rm{ }}c{w^2})(a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{w^2} + {\rm{ }}cw)}$ . (εδώ)

38. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς

ώστε $\displaystyle{{\rm{4}}{{\rm{z}}^2}{\rm{ + 8|z}}{{\rm{|}}^2}{\rm{ = 8}}{\rm{.}}}$ (εδώ)

39. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς

ώστε $\left| z \right| = 1$ και $\displaystyle{{\rm{|}}{{\rm{z}}^2}{\rm{ + }}{{\rm{\bar z}}^2}{\rm{| = 1}}}$ (εδώ)

40. Έστω ${z_1},{z_2} \in C$ ώστε $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt{3}$ και $\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| = 1$ . Υπολογίστε $\left| {{z_1} - {z_2}} \right|$ . (εδώ)

41. Θεωρούμε τους μιγαδικούς a,b,c

ώστε $a\left| {bc} \right| + b\left| {ac} \right| + c\left| {ab} \right| = 0$ . Αποδείξτε ότι $\left| {\left( {a - b} \right)\left( {b - c} \right)\left( {c - a} \right)} \right| \ge 3\sqrt 3 \left| {abc} \right|$ (εδώ)

42. Επιλύστε στο ${C^ * }$ το σύστημα x + y + z = 1 = xyz

και $\left| x \right| = \left| y \right| = \left| z \right|.$ (εδώ)

43. Έστω οι μιγαδικοί z με $\displaystyle{|z| = 1}$ , να αποδείξετε ότι $\displaystyle{\sqrt 2 \le |1 - z| + |1 + {z^2}| \le 4}$ (εδώ)

44. Να λύσετε στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση $\displaystyle{z^{2}=4z+\mid z\mid^{2}+\frac{16}{\mid z\mid^{3}}}$ (εδώ)

45. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς αριθμούς

που είναι τέτοιοι ώστε $\left |z-\mid z+1\mid\right| =\left |z+\mid z-1\mid\right|$ (εδώ)

46. Έστω οι μη μηδενικοί μιγαδικοί αριθμοί x,y

τέτοιοι ώστε: ${x^2} + xy + {y^2} = 0$ .
Βρείτε την τιμή της παράστασης: $\displaystyle{{\left( {\frac{x}{{x + y}}} \right)^{1990}} + {\left( {\frac{y}{{x + y}}} \right)^{1990}}}$ .

(1990 China High School Math Contest) (εδώ)

47. Έστω ${z_i} \in {C^ * }$ και $\displaystyle{{z_i} \ne {z_j}}$ για κάθε $i \ne j$ , με $i,j \in \left\{ {1,2,3} \right\}$ .
Αν είναι $z_1^2 = {z_2}{z_3}$ , $z_2^2 = {z_1}{z_3}$ , αποδείξτε ότι οι εικόνες των $z,{z_2},{z_3}$ είναι κορυφές ισοπλεύρου τριγώνου. (εδώ)

48. Έστω $w \in C$ , μη πραγματική ρίζα της εξίσωσης ${x^3} = 1$ .
Να αποδείξετε ότι για κάθε $z \in C$ ισχύει $\displaystyle{{\left| {z - 1} \right|^2} + {\left| {z - w} \right|^2} + {\left| {z - {w^2}} \right|^2} = 3\left( {1 + {{\left| z \right|}^2}} \right)}$ (εδώ)

49. Αν $a,b \in C$ αποδείξτε ότι : $\left| {1 + ab} \right| + \left| {a + b} \right| \ge \sqrt {\left| {{a^2} - 1} \right| \cdot \left| {{b^2} - 1} \right|}$ (εδώ)

50. Για τους μιγαδικούς ${z_1},{z_2}$ ισχύει ${\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{z_1}} \right) \ge 0,{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{z_2}} \right) \ge 0$ . Αποδείξτε ότι ${\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2} + {z_1} \cdot {z_2} + {\bar z_1} \cdot {\bar z_2} \ge 0$ .

[G.M. 2/2003] (εδώ)

51. Έστω $z \in C$ ώστε $\left| z \right| = 1$ και ${z^n} + z + 1 = 0,n \in {N^ * }$ . Αποδείξτε ότι:
α. ${z^3} = 1$
β. $n = 3k + 2,k \in N$

[G.M. 2/2003] (εδώ)

52. Έστω $n \ge 3$ ακέραιος και οι μιγαδικοί $\displaystyle{{z_0},{\rm{ }}{z_1},{\rm{ }}{z_2},{\rm{ }}{z_3},{\rm{ }} \ldots \ldots ..{\rm{ }},{\rm{ }}{z_n}}$ διαφορετικοί ανά δύο και με ίσα μέτρα.
Αποδείξτε ότι οι εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle\frac{1}{{{z_1} - {z_0}}},\frac{1}{{{z_2} - {z_0}}},\frac{1}{{{z_3} - {z_0}}},...,\frac{1}{{{z_n} - {z_0}}}$ είναι συνευθειακά σημεία.

[G.M. 2/2003] (εδώ)

53. 53. Έστω οι μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{{z_1},{\rm{ }}{z_2}}$ που ικανοποιούν τις σχέσεις:
$\bullet {\rm{ }}3z_1^2 - 2{z_1}{z_2} + 2z_2^2 = 0$ και
$\displaystyle{ \bullet {\rm{ }}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\frac{{{z_1} - 2}}{{{z_1} + 2}}} \right) = 0.}$ .
Εάν είναι A,B,O

οι αντίστοιχες εικόνες των $\displaystyle{{z_1},{\rm{ }}{z_2},0}$ στο μιγαδικό επίπεδο, τότε να υπολογίσετε το εμβαδό του τριγώνου ${\rm A}{\rm B}{\rm O}.$

(Rice University Math Tournament 2012) (εδώ)

54. Αν $\displaystyle{z{\rm{ }},{\rm{ }}w}$ τυχαίοι μη μηδενικοί μιγαδικοί και $\varepsilon = \sigma \upsilon \nu \frac{\pi }{3} + i\eta \mu \frac{\pi }{3}$ αποδείξτε την ανισότητα $\left| {z - \varepsilon w} \right| \le \left| z \right| + \left| {z - w} \right|$ .

[G.M. 10/2003] (εδώ)

55. Αποδείξτε ότι για κάθε μιγαδικό

ισχύει η σχέση $\displaystyle{\left| {1{\rm{ }} + {\rm{ }}z} \right|{\rm{ }} + {\rm{ }}|1{\rm{ }} + {\rm{ }}z{\rm{ }} + {\rm{ }}{z^2}| \ge 1}$ .

(Διαγωνισμός «Victor Valcovici» Valcea , Romania 20/2/2004, πρόταση του Laurentiu Panaitopol )(εδώ)

56. Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c{\rm{ }},{\rm{ }}d{\rm{ }},{\rm{ }}e{\rm{ }}{\rm{, f}}}$ τέτοιοι ώστε $\displaystyle{\left| a \right| = \left| b \right| = \left| c \right| = r{\rm{ }},{\rm{ }}\left| d \right| = \left| e \right| = \left| f \right| = R}$ $\displaystyle{,{\rm{ }}0{\rm{ }} < r{\rm{ }} < R,{\rm{ }}a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}d{\rm{ }} + {\rm{ }}e{\rm{ }} + {\rm{ }}f}$ .
Αποδείξτε ότι τα τρίγωνα με κορυφές τις εικόνες των μιγαδικών $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ και $\displaystyle{d{\rm{ }},{\rm{ }}e{\rm{ }},{\rm{ }}f}$ είναι ισόπλευρα.

(Διαγωνισμός «Cezar Ivanescu» Valcea , Romania 20/2/2004) (εδώ)

57. Βρείτε όλους τους μιγαδικούς ${z_1},{z_2}$ που ικανοποιούν συγχρόνως τις παρακάτω ισότητες:
$\displaystyle{|1{\rm{ }} + {\rm{ }}{z_1} + {\rm{ }}{z_2}\left| {{\rm{ }} = {\rm{ }}} \right|1{\rm{ }} + {\rm{ }}{z_1}|{\rm{ }} = {\rm{ }}1}$ , $\displaystyle{\left| {{z_1} \cdot {z_2}({z_1} + {\rm{ }}{z_2})} \right| = 2\left( {\left| {{z_1}} \right| + \left| {{z_2}} \right|} \right)}$

(Προτεινόμενη για Εθνική Ολυμπιάδα Ρουμανίας 2004) (εδώ)

58.Τρεις μιγαδικοί αριθμοί $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ έχουν μέτρο

και ικανοποιούν την ισότητα $\displaystyle{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}1}$ . Αποδείξτε ότι:
α. $\displaystyle{ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ac{\rm{ }} = {\rm{ }}abc}$
β. $\displaystyle{\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}a} \right)\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}b} \right)\left( {1{\rm{ }}-{\rm{ }}c} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}0}$
γ. $\displaystyle\frac{1}{{{a^{2011}}}} + \frac{1}{{{b^{2011}}}} + \frac{1}{{{c^{2011}}}} = 1$
δ. Αν οι $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ είναι διαφορετικοί ανά δύο, τότε το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ είναι ορθογώνιο. (εδώ)

59. Έστω οι μιγαδικοί $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ ώστε $\displaystyle{a{\rm{ }} + {\rm{ }}b{\rm{ }} + {\rm{ }}c{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} = {\rm{ }}{a^2} + {\rm{ }}{b^2} + {\rm{ }}{c^2}}$ . Αποδείξτε ότι:
α. $\displaystyle{{\rm{ }}ab{\rm{ }} + {\rm{ }}bc{\rm{ }} + {\rm{ }}ca{\rm{ }} = {\rm{ }}0}$
β. ${a^2} = bc$
γ. $abc \ne 0$ και $\displaystyle{\left| a \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| b \right|{\rm{ }} = {\rm{ }}\left| c \right|}$
δ. το τρίγωνο με κορυφές τις εικόνες των $\displaystyle{a{\rm{ }},{\rm{ }}b{\rm{ }},{\rm{ }}c}$ είναι ισόπλευρο. (εδώ)

60. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς $\displaystyle{{\alpha _o},{\rm{ }}{\alpha _1},{\rm{ }}{\alpha _2}}$ ώστε για κάθε $i \in \left\{ {0,1,2} \right\}$ να είναι $\left| {{a_i}} \right| \le 3$ .
Αν ο μιγαδικός αριθμός

ικανοποιεί τη σχέση: $\displaystyle{{v^3} + {\alpha _2}{v^2} + {\alpha _1}v + {\alpha _0} = 0}$ τότε να αποδείξετε ότι: $\left| v \right| < 4$ .

(Πανελλαδικές εξετάσεις 2013 Μάιος) (εδώ)

Πηγές
για τις 26 πρώτες εδώ, για τις υπόλοιπες εδώ

mathxl · #2

Ολοκληρώθηκε η συλλογή 60 ασκήσεων σε χρόνο ρεκόρ (αν κάποιες ασκήσεις δεν είχαν πρόβλημα θα τέλειωνε νωρίτερα)

Σκοπός μου ήταν να συγκεντρώσω ένα σημαντικό αριθμό ασκήσεων που δεν έχουν συγγενική σχέση με ασκήσεις του σχολικού ή θεμάτων πανελλαδικών εξετάσεων. Κινήθηκα κυρίως σε ανισότητες, ασκήσεις γεωμετρίας, "άγνωστες" ταυτότητες και διαγωνιστικά μαθηματικά που δύσκολα βγάζουν τα παιδιά. Ωστόσο υπάρχει και ένας αριθμός ασκήσεων που είναι εύκολος και προσιτός. Προσωπικά θα τις δώσω στο σχολείο αφού τελειώσουμε τους μιγαδικούς (μην νομίζετε ότι διδάσκω τέτοια πράγματα...το σχολικό και κάποιες "φυσιολογικές" ΄στο πνεύμα των εξετάσεων προ 2013....όσοι βιαστούν να πουν ότι αυτά είναι βλακείες και εκτός πνεύματος εξετάσεων ας δουν την 60).
Γνωρίζω ότι στους περισσότερους μαθητές, αυτό θα τους ρίξει το ηθικό (ακόμη και αυτούς που έχουν 20)! Μετά θα τους δώσω και τα θέματα των εξετάσεων λυμένα, εκτός του 2013..ώστε να επανορθώσω το παιδαγωγικό ατόπημα!!

Η δεύτερη συλλογή που στοχεύω, έχω την αίσθηση ότι πρέπει ήδη να υπάρχει. Είναι Μιγαδικοί στις πανελλαδικές 2000-2013.

Εσείς βέβαια θα χρησιμοποιήσετε το έγγραφο όπως σας εξυπηρετεί!

Τέλος θέλω να ευχαριστήσω όλους όσους ασχολήθηκαν και αφιέρωσαν τον πολύτιμο χρόνο τους για την δημιουργία αυτής της συλλογής, όπως και το mathematica.gr που την φιλοξενεί.

Ελπίζω η συλλογή να σας φανεί χρήσιμη είτε είστε συνάδελφοι στο σχολείο είτε στο φροντιστήριο είτε "κωλοπετσωμένοι" μαθητές.
Η συλλογή βρίσκεται εδώ:
http://www.mathematica.gr/index.php?ind ... w&iden=584

ΥΓ: Το αρχείο σε docx έχει μεγεθός 1.9 μεγαμπάιτ. Δεν ξέρω γιατί δεν μπορούσα να το ανεβάσω. Το έκανα μετατροπή σε απλό ντοκ του 2003 και το ανέβασα. Δεν ξέρω αν δουλεύουν τα έγγραφα "ΑΠΑΝΤΗΣΗ". Ενημερώστε με παρακαλώ.
Επίσης ενημερώστε με για τυχόν λάθη, παραλείψεις τυπογραφικά κτλ. Ευχαριστώ!!!

mathxl · #3

και σε pdf φυσικά....προς στιγμήν το ξέχασα.
Δυστυχώς δεν ξέρω για μετατροπή σε tex. Αν κάποιος συνάδελφος μπορεί να το μετατρέψει ας το κάνει.

orestisgotsis · #4

ΠΕΡΙΤΤΑ

#5

Βασίλη, πολύ ωραία η συλλογή και νάσαι καλά !

Το έγγραφο - λύση που έχεις σε κάθε άσκηση δεν μπορώ να το ανοίξω.
Ποιος μπορεί να δώσει λεπτομέρειες ; Έχω windows 07 και office 2003.

Μπ.

mathxl · #6

Για αυτούς που θέλουν να κάνουν οικονομία στο χαρτί:
Η αρχική έκδοση είναι word 2007 docx, αλλά δεν μπορούσα να το ανεβάσω στην τράπεζα και έτσι το μετέτρεψα το αρχείο σε 2003.
Ένας φίλος μου είπε ότι δουλεύουν οκ σε αυτόν αφού μετέτρεψε το αρχείο 2003 σε 2007.
Παλιότερα που είχα 2003, υπήρχε άπό την microsoft η δυνατότητα να ανοίγεις τα 2007.
Μπάμπης κάνεις διπλό κλικ πάνω στο έγγραφο;;

#7

Βλέποντας τις ασκήσεις στη σειρά στο παραπάνω αρχείο, παρατηρούμε πως η 20 είναι ειδική περίπτωση της 30.

Φιλικά,

Αχιλλέας

#8

mathxl έγραψε:Για αυτούς που θέλουν να κάνουν οικονομία στο χαρτί:
Η αρχική έκδοση είναι word 2007 docx, αλλά δεν μπορούσα να το ανεβάσω στην τράπεζα και έτσι το μετέτρεψα το αρχείο σε 2003.
Ένας φίλος μου είπε ότι δουλεύουν οκ σε αυτόν αφού μετέτρεψε το αρχείο 2003 σε 2007.
Παλιότερα που είχα 2003, υπήρχε άπό την microsoft η δυνατότητα να ανοίγεις τα 2007.
Μπάμπης κάνεις διπλό κλικ πάνω στο έγγραφο;;

Βασίλη, αυτό κάνω και παίρνω το παρακάτω μήνυμα :

vanalex · #9

Βασίλη να 'σαι καλά! Πολύ καλή ιδέα και δουλειά!

parmenides51 · #10

σ' ευχαριστώ

(καταχωρήθηκαν στο Bulletin Επανάληψης ΓΛ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ
και στο Bulletin Επανάληψη Φυλλάδια ΓΛΚΑΤ)

Theoxaris Malamidis · #11

Ευχαριστώ!

συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Re: συλλογή μιγαδικών by mathxl.inc

Μέλη σε σύνδεση